Il Maraschini-Palma - volume 5

1 Funzioni reali APPROFONDIMENTO A 1 1 Possiamo evidenziare le analogie e le differenze tra il grafico della funzione __ e quello della funzione __2 . x x Sappiamo che il grafico di y = _1 è un iperbole equilatera avente come asintoti gli assi del riferimento cartesiano. La funzione non è x 1 definita solo per x = 0; anche y = _ non è definita per x = 0. 2 x Quindi, anche il grafico di questa funzione ha gli assi cartesiani come asintoti. 1 Le due funzioni hanno in comune solo la soluzione (x = 1, y = 1): l unico punto in cui il grafico di y = _ interseca quello di y = _1 è quello 2 x x di coordinate (1 ; 1). 1 Il grafico di entrambe ha inoltre l asse delle ascisse come asintoto orizzontale, ma, mentre la funzione __ può assumere valori positivi o x 1 __ negativi a seconda del valore di x, la funzione 2 è invece sempre positiva poiché a denominatore ci sono valori quadrati. x I rispettivi grafici sono rappresentati nelle figure a. e b. e nella figura c. sono rappresentati nello stesso riferimento cartesiano. 4 y 4 y 8 y 4 2 6 2 2 O 2 2 2 O b. 4 2 O 4 x 2 2 2 4 a. 4 4 4 x 2 4 x 4 c. Tre casi a partire dalla parabola Sappiamo che una parabola tende ad aprirsi sempre più, sia che volga la sua concavità verso l alto o che la volga verso il basso. Per x tendente a + o a , i valori di una funzione f(x) di secondo grado tendono all infinito: a + se la parabola volge la sua concavità verso l alto, a se volge la concavità verso il basso. Via via che nell espressione della funzione f(x) si sostituiscono alla x valori più 1 grandi in valore assoluto, ___ diviene sempre più prossimo a 0. f(x) 1 Quindi, per x tendente a , la funzione y = ___________ tende a 0: l asse del2 a x + bx + c le ascisse è il suo asintoto orizzontale. Per studiare l andamento di una funzione di questo tipo seguiamo tre esempi: sono, infatti, tre i casi possibili, a seconda che la parabola y = ax2 + bx + c abbia due, una o nessuna intersezione con l asse delle ascisse. 1 I. Disegnare il grafico della funzione y = __________ 2 x 6x + 5 2 Il grafico della funzione y = x 6x + 5 è disegnato in figura. Gli zeri della funzione sono x1 = 1 e x2 = 5. 1 La funzione y = _ non è definita in corrispondenza di tali valori: il suo 2 x 6x + 5 insieme di definizione è {x R x 1 e x 5}. Le rette x = 1 e x = 5 sono, quindi, gli asintoti verticali e l asse delle ascisse è l asintoto orizzontale del suo grafico. y 5 O 1 5 x V 35

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