Il Maraschini-Palma - volume 5

RELAZIONI E FUNZIONI questa una funzione di terzo grado, con zeri in 0 (dove è tangente) e in 4; il suo grafico è il seguente: A2 1 O 8 3 1 4 k Poiché 0 < k < 4, l arco che interessa è quello evidenziato in figura. Per trovare il punto di massimo relativo (che è anche massimo assoluto nell intervallo), consideriamo la derivata prima: 8k 3k2 La derivata prima si annulla per k = 0 (in tal caso la retta è l asse delle ascisse, il 8 triangolo è degenere e l area è minima perché uguale a 0) e per k = __, che è la 3 soluzione cercata. __ 16 3 8_ _ _____ Per k = , l area (massima) del triangolo è . 3 9 Inscrivere in un cono di raggio r e altezza h il cilindro di volume massimo. Il problema può essere così riformulato: Dato un cono di raggio r e altezza h, stabilire quale deve essere il raggio di base di un cilindro affinché: sia inscritto nel cono; abbia il volume massimo. Rappresentiamo una sezione del cono e del cilindro con un piano perpendicolare alla base e passante per l asse comune a entrambi i solidi. Otteniamo un triangolo di base 2r e altezza h e un rettangolo di cui dobbiamo determinare le dimensioni affinché il cilindro cercato abbia volume massimo. h r x x r Scegliamo un riferimento cartesiano con l asse x passante per le basi delle sezioni dei due solidi e con l asse y coincidente con l altezza del triangolo (cono), come nella figura a pagina seguente. Il vertice del cono ha coordinate (0 ; h) mentre i vertici della base del triangolo hanno coordinate ( r ; 0) e (r ; 0). Il punto P(x ; y) appartiene alla circonferenza lungo la quale cono e cilindro si toccano e rappresenta un vertice del rettangolo di base 2x e altezza y. 348

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