Il Maraschini-Palma - volume 5

6 Derivate e grafici y M O p 2p 2 3 p x 3 p 2 In M __p ; ___ la funzione ha un massimo relativo. Poiché il grafico interessa (3 27) p per x compreso tra __ e p si tratta di un massimo assoluto. 2 _2_ Quindi per x = __ 3 p la funzione che esprime l area del triangolo è massima e tale p 2 3 area vale _____ 9 Data la parabola di equazione y = x2 + 4x condurre, nel semipiano y 0, una retta parallela all asse delle x in modo tale che, indicate con P e Q le sue intersezioni con la parabola, l area del triangolo OPQ risulti massima. Si tratta di uno dei problemi classici di questo genere. Visualizziamo la situazione con un disegno: la parabola interseca l asse x nei punti di rispettive ascisse 0 e 4 e ha vertice in (2 ; 4). L equazione di una generica retta parallela all asse delle ascisse è y = k (nel caso qui in esame deve essere: 0 < k < 4). y V P Q 1 O 1 4 x Le ascisse dei punti P e Q si ottengono dal sistema: y = x2 + 4x {y = k _____ da cui: _____ x1 = 2 4 k, x2 = 2 + 4 k _____ _____ _____ Il segmento PQ ha lunghezza x2 x1 = 2 + 4 k (2 4 k) = 2 4 k. L altezza del triangolo relativa alla base PQ è k. L area del triangolo OPQ è quindi: _____ A = k 4 k L area A è funzione di k. sempre positiva e, quindi, in corrispondenza del valore di k per cui è massima, risulta massima anche A2, anch essa funzione di k: A2 = k2(4 k) = 4k2 k3 347

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