Il Maraschini-Palma - volume 5

RELAZIONI E FUNZIONI Il massimo è in uno dei due estremi: l2 se x = l abbiamo soltanto una circonferenza di area ___; 4 l2 se x = 0 abbiamo soltanto un quadrato di area ___. 16 Quindi la massima superficie ottenibile si ha quando utilizziamo tutto lo spago per costruire una circonferenza. Naturalmente, non è sempre possibile risolvere un problema di massimo o di minimo ricorrendo a caratteristiche geometriche elementari, così come abbiamo fatto per i precedenti problemi. Nella maggior parte dei casi, per la ricerca dei massimi e dei minimi occorre utilizzare gli strumenti del calcolo infinitesimale. Tra i triangoli isosceli di dato perimetro 2p, determina quello di area massima. C x A H B Se x è il lato obliquo del triangolo, la base è (2p 2x). p Deve essere __ < x < p (escludiamo i casi estremi, in corrispondenza dei quali il 2 triangolo diventa un segmento). Leggi Teorema (formula di Erone) Per la formula di Erone l area A, che è funzione di x, è: ________________________ A(x) = p (p x) (p x) (2x p) Ricercare il suo massimo equivale a ricercare il massimo dell espressione: A2(x) = p (p x) ( p x) (2x p) Occorre perciò stabilire per quale valore di x è massimo il prodotto dei tre fattori: (p x) (p x) (2x p) La somma dei tre fattori è costante e uguale a p. Il loro prodotto è massimo quando sono uguali i fattori. Perciò: 2 x = __p 3 In tal caso si tratta, come era prevedibile, di un triangolo equilatero. p x = 2x p Ritroviamo lo stesso risultato esaminando l andamento della funzione: f(x) = (p x) (p x) (2x p) una funzione polinomiale di terzo grado f(x) = 2x3 5px2 + 4p2x p3 il cui p grafico ha due zeri coincidenti in x = p e un terzo zero in x = __ e interseca l asse 2 delle ordinate nel punto (0 ; p3). 2 La sua derivata f (x) = 6x2 10px + 4p2 si annulla per x = __p e per x = p ed è 3 positiva all esterno dell intervallo individuato da questi due valori. Il grafico della funzione è quindi (a pagina seguente). 346

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