Il Maraschini-Palma - volume 5

6 Derivate e grafici Chiamiamo x la parte di spago con la quale formare la circonferenza di raggio x r = ___. 2 x2 La sua area è r2 = ___. 4 l x Corrispondentemente, il perimetro del quadrato è (l x), il suo lato è ____ e la 4 2 (l x) sua area è _______. 16 L area totale è allora (in funzione di x): x2 (l x)2 4x2 + (l2 2lx + x2) A(x) = ___ + _______ = _________________ 4 16 16 Inoltre 0 x l. Nei casi in cui x = 0 o x = l, una delle due figure degenera e non ha senso parlare di rapporto tra le due parti dello spago, essendo una parte uguale a 0. Consideriamo tuttavia anche questi casi nell esaminare l andamento della funzione A(x): quindi la variabile indipendente x può variare da 0 a l. Per semplificare l espressione dell area totale moltiplichiamola per 16 . Lo possiamo fare perché se per un dato valore di x l area è minima, lo sarà anche un suo qualsiasi multiplo secondo un fattore positivo. Otteniamo una nuova funzione che indichiamo con a(x) e di questa ricerchiamo il minimo nell intervallo considerato: a(x) = (4 + )x2 2 lx + l2 0 x l un tratto di una funzione di secondo grado, rappresentabile con un arco di pa l rabola, il cui minimo si ha nel suo vertice, cioè per x = ______ 4+ Poiché: l 0 < _____ < l, essendo 0 < ______ < 1, 4+ 4+ questo valore è accettabile. Per il rapporto fra le due parti si ha allora: l l _____ _____ x 4+ 4 + _ _ ____ ________ ________ = = = l 4l l x l _____ 4 _____ 4+ 4+ Il grafico della funzione A(x) è un arco di parabola, rivolta verso l alto, che include il vertice: y l2 4 l2 16 O l 4+ l x 345

Il Maraschini-Palma - volume 5
Il Maraschini-Palma - volume 5