Il Maraschini-Palma - volume 5

6 Derivate e grafici Possiamo dare una equivalente formulazione algebrica di questo teorema. TEOREMA Il prodotto di due numeri positivi la cui somma è s è massimo quando i due numeri sono uguali. Come conseguenza di questo teorema abbiamo che, per ogni coppia di numeri reali x, y positivi: _ x+y xy _ 2 Infatti, siano x e y due numeri positivi, la cui somma è: x + y = s. s s s s Poiché è __ + __ = s, anche la coppia (__ ; __), formata da due numeri uguali, ha la 2 2 2 2 caratteristica di avere somma s. Quindi: x+y x+y xy _ _ 2 2 Da cui: _ x+y xy _ 2 Il segno di uguaglianza vale quando x = y. Consideriamo ora due numeri reali positivi x e y e indichiamo il_loro prodotto con p. Dalla precedente disuguaglianza abbiamo che: x + y 2 p. Perciò la somma di due numeri positivi, il cui prodotto _ è p, è maggiore o al più uguale alla somma di due numeri entrambi uguali a p. Ricaviamo così un nuovo teorema. TEOREMA La somma di due numeri positivi il cui prodotto è p è minima se i due numeri sono uguali. o, equivalentemente, nella versione geometrica. TEOREMA ATTENZIONE! A __ Il numero p = xy è la media geometrica dei due numeri x e y e rappresenta un numero intermedio tra essi tale che x, p, y sono tre termini successivi di una progressione geometrica (vedi unità 4 del volume 4) cioè di una successione numerica a1, a2, a3, ..., an, ... in cui, a partire dal termine iniziale a1 (diverso da 0), ogni altro termine si ottiene moltiplicando il precedente sempre per uno stesso numero diverso da 0. In un insieme di rettangoli equiestesi il quadrato è quello di perimetro minimo. I quattro teoremi che abbiamo enunciato possono essere tra loro scambiati: basta sostituire la parola «perimetro con la parola «area e la parola «massimo con la parola «minimo . In sostanza possiamo ottenere un teorema dall altro in questo modo: Q si considera costante la grandezza che si voleva massima; Q si chiede che sia minima la grandezza che era costante. In questo modo è possibile ottenere da un teorema di massimo un equivalente teorema di minimo a esso duale. Per esempio, possiamo ottenere i seguenti due teoremi, che estendono i precedenti e che sono alla base dell affermazione riportata da Virgilio sulla massima superficie racchiusa in un perimetro dato. TEOREMA Il prodotto di n numeri positivi, la cui somma è s, è massimo se gli n numeri sono uguali. 343

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