I problemi di massimo e di minimo

RELAZIONI E FUNZIONI I problemi di massimo e di minimo Un particolare tipo di problemi riguarda la ricerca del valore massimo o di quello minimo di una variabile, per ottimizzare, per esempio, alcune scelte. Lo stesso poeta latino Virgilio ne dà una testimonianza nel primo libro dell Eneide dove racconta la leggenda secondo la quale Didone contrattò il territorio su cui costruire Cartagine: le fu offerta una superficie grande quanto fosse possibile cingere con la pelle di un toro (taurino quantum possent circumdare tergo). Didone, anziché utilizzare intera la pelle, la ritagliò a striscioline e le pose una accanto all altra fino a formare approssimativamente una circonferenza: infatti, tra tutte le figure piane aventi lo stesso perimetro, il cerchio è quella di area massima. I metodi più elementari per risolvere problemi di massimo o di minimo utilizzano le proprietà geometriche delle figure elementari. Ed è bene esaminare innanzitutto visivamente la situazione problematica da risolvere per capire se è possibile trovare la soluzione ottimale proprio sfruttando, come Didone, le proprietà geometriche. Spesso, nella tradizione scolastica, i problemi di massimo o di minimo vengono risolti come applicazione delle derivate. divenuta una abitudine quasi meccanica: si ricercano i valori in corrispondenza dei quali la derivata si annulla. Eppure, in molti casi la soluzione può essere trovata in modo più semplice: del resto problemi di ricerca di massimi o minimi sono presenti in molte testimonianze matematiche classiche che, come il caso di Didone raccontato da Virgilio, risalgono a molti secoli prima che venissero introdotti gli strumenti del calcolo infinitesimale. Se, per esempio, una grandezza y è esprimibile come funzione quadratica di un altra grandezza x, y = ax2+ bx + c allora sappiamo che la sua rappresentazione grafica è una parabola, con asse parallelo all asse delle ordinate, con la concavità rivolta verso l alto se a > 0, verso il basso se a 0 possiamo stabilire che y è minima per x = __; a b se a < 0 possiamo stabilire che y è massima per x = __. a Utilizziamo questa osservazione per ricercare in un insieme di rettangoli isoperimetrici cioè di uguale perimetro assegnato 2p quello di area massima. Se indichiamo con x la base, l altezza sarà (p x) e l area sarà espressa da x(p x)= x2 + px. Indicando con y l area, abbiamo ottenuto la funzione y = x2 + px, il cui grafico è una parabola rivolta verso le ordinate negative e con vertice nel punto di ascisp sa x = __. 2 p Questa grandezza è massima, quindi, quando x = __, cioè quando il rettangolo è 2 un quadrato. Questo problema esprime in realtà un teorema geometrico. TEOREMA In un insieme di rettangoli isoperimetrici il quadrato è quello di area massima. 342

Il Maraschini-Palma - volume 5
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