Il Maraschini-Palma - volume 5

6 Derivate e grafici Nel problema dato, dobbiamo tuttavia escludere che sia x = 0: dal complessivo grafico dobbiamo perciò togliere l origine. L andamento grafico disegnato, con esclusione dell origine, rappresenta, quindi, come varia il numero y al variare del numero x. A volte il problema consiste nell individuare una funzione che soddisfi particolari condizioni, quale il seguente. Determina i coefficienti della funzione y = ax4 + bx3 + cx2 + dx + e sapendo che: 1. essa si annulla per x = 0; 2. la sua derivata prima si annulla per x = 0, x = 1, x = 2; 3. il suo grafico ha nel punto di ascissa x = 1 la tangente parallela alla retta di equazione y = x. Si tratta di determinare i coefficienti a, b, c, d, e. Si ha immediatamente e = 0, per la condizione 1. La derivata prima è y = 4ax3 + 3bx2 + 2cx + d. Per la condizione 2., si ha: y (0) = 0 d = 0 Inoltre: y (1) = 0 4a + 3b + 2c = 0 y (2) = 0 32a + 12b + 4c = 0 Il sistema, avendo due equazioni e tre incognite, è indeterminato. Si ricava tuttavia (moltiplicando la prima equazione per 2 oppure per 4): b = 4a c = 4a Con le condizioni finora utilizzate, possiamo perciò scrivere che la funzione ha equazione del tipo: y = ax4 4ax3 + 4ax2 la cui derivata è: y = 4ax3 12ax2 + 8ax Per determinare a, utilizziamo la terza condizione del problema: la derivata di una funzione in un punto è il coefficiente angolare della tangente al grafico in quel punto e perciò, dovendo essere la tangente parallela alla retta di equazione y = x, 1 dev essere y ( 1) = 1, cioè: 1 = 4a 12a 8a, da cui si ricava a = ___. 24 x4 x3 x2 La funzione è perciò: y = ___ __ + __ 24 6 6 2 x Poiché essa può essere scritta come y = ___ (x 2)2, il grafico è tangente all asse 24 x nei punti di ascissa 0 e 2 e la funzione è simmetrica rispetto all asse x = 1, in 1 cui ha il massimo (1 ; ___). 24 y 1 O 1 2 x 341

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