Il Maraschini-Palma - volume 5

RELAZIONI E FUNZIONI Analizziamo un problema di tipo numerico. Sappiamo che il rapporto tra un numero reale e la radice cubica di un altro numero reale è 1. Determina come varia un numero in funzione dell altro. y_ Indichiamo con le variabili x e y i due numeri; deve essere ___ = 1. 3 x _ 3 Si chiede quindi sostanzialmente di studiare il grafico della funzione y = x, con x 0. _ 3 La funzione y = x è ovunque definita e passa per l origine. negativa a sinistra dell asse delle ordinate, positiva a destra. Studiamone la crescenza e i punti particolari, non seguendo la procedura usuale, ma considerando innanzitutto la funzione y = x3 e il relativo grafico: y 1 1 1 O 1 x Tracciata la bisettrice del I e III quadrante, consideriamo il grafico simmetrico di quello tracciato: y O x La funzione che ha questo grafico, si ottiene dalla funzione precedente con la simmetria indicata che agisce cambiando il ruolo delle variabili x e y. Quindi: _ 3 3 x = y da cui y = x che è la funzione del nostro problema. La sua derivata: 1_ y = _ 3 2 x è sempre positiva per x 0, ma non è definita per x = 0, in cui però la funzione è definita. Anzi, per x tendente a 0, la derivata (e quindi il coefficiente angolare della retta tangente alla curva) tende a essere infinita. La curva, continua in tutto R, è sempre crescente, non è derivabile in x = 0. Nell origine, la curva ha una tangente verticale, così come la sua simmetrica rispetto alla bisettrice indicata, ha in O un asintoto orizzontale. 340

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