Il Maraschini-Palma - volume 5

RELAZIONI E FUNZIONI Interseca invece l asse delle ordinate nel punto (0 ; 4), perché x = 0 y = 4. Calcoliamo i valori che assume la funzione agli estremi dell insieme di definizione: x = 1 x=1 ATTENZIONE! A P Poiché la funzione è definita per ogni x reale tale che 1 x 1, il limite per x che tende a 1 può essere soltanto da destra, mentre quello per x che tende a +1 può essere soltanto da sinistra. y = 3 y=3 La derivata prima della funzione è: _ ( ) 4 2x 1 x2 4x + 3 _ + 3 y = ______________ _ y = _ 1 x2 2 1 x2 3 Essa si annulla per x = __. 5 Inoltre, in corrispondenza di x = 1 la derivata prima non è definita, e tende a infinito: lim y = lim + y = x 1 x 1 Questo vuol dire che quando la variabile x tende a 1 da destra o a +1 da sinistra la tangente al grafico tende a essere parallela all asse delle ordinate. Il grafico della funzione è, quindi, tangente alle rette x = 1 e x = +1 ed è tutto compreso nella striscia di piano da esse delimitata. La derivata seconda è: 4 _ y = ______________ 2 (1 x ) 1 x2 Il denominatore di questa frazione è sempre positivo nell insieme di definizione della funzione escluso gli estremi x = 1 in cui il denominatore si annulla; il numeratore è sempre negativo: la frazione è, quindi, sempre negativa per 1< x < 1. Quindi, la derivata seconda è sempre negativa nell intervallo 1 < x < 1 e non si annulla mai: la curva rivolge sempre la concavità verso il 3 3 basso e, in corrispondenza di x = __, ha il massimo M di coordinate (__ ; 5). 5 5 Possiamo così tracciare il grafico della funzione: y 5 M 4 1 O 3 336 1 x

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