Costruire l’andamento grafico di una funzione

6 Derivate e grafici Costruire l andamento grafico di una funzione Come abbiamo già detto, con gli strumenti matematici introdotti con il calcolo infinitesimale, possiamo studiare le caratteristiche generali di una funzione reale di una variabile e tracciarne con buona approssimazione il grafico. Il primo passo consiste nel determinare l insieme di definizione della funzione e nell analizzarne il tipo, in modo da ricavare alcune prime informazioni generali. I passi successivi dipendono principalmente dalla particolare funzione da studiare: saranno l intelligenza e l esercizio a guidare la scelta in modo tale che si riesca a rappresentare la funzione in modo sufficientemente preciso, pur evitando al massimo i pericoli e la noia di calcoli talvolta non necessari. In generale, per il disegno, quantunque approssimativo, del grafico sono essenziali gli altri elementi considerati in questa unità: Q gli intervalli in cui la funzione è continua e derivabile e il comportamento nei punti di discontinuità; Q gli eventuali asintoti; Q le eventuali intersezioni con gli assi; Q gli eventuali punti di minimo e di massimo relativi, gli intervalli in cui la funzione cresce e quelli in cui decresce; Q la concavità e gli eventuali punti di flesso della funzione. bene abituarsi a utilizzare in modo costruttivo questi elementi ottenuti dal calcolo infinitesimale per avere una rappresentazione grafica di un fenomeno che stiamo studiando. Certamente, molto spesso nella ricerca scientifica occorre avere rappresentazioni più precise e, quindi, bisogna far ricorso a più complesse procedure e strumenti di calcolo informatico. Per avere, invece, una prima immagine di tali andamenti possiamo utilizzare semplici applicazioni implementabili negli usuali smartphone. Due necessità opposte che sembrerebbero rendere superflua la nostra ricerca di elementi che ci permettano di disegnare a mano il grafico di una funzione data. Non è così. Perché rimane comunque centrale la nostra capacità di comprensione di tali rappresentazioni grafiche e di lettura delle informazioni che da esse è possibile avere. Come pure, è sempre essenziale la capacità di controllare i risultati ottenuti, evitando di assumere acriticamente ciò che leggiamo su uno schermo e che potrebbe essere il risultato anche di nostri precedenti errori, anche di digitazione. Costruiamo, quindi, come esempio riassuntivo, il grafico di una funzione utilizzando le informazioni che provengono dagli elementi considerati in questo e nei precedenti paragrafi. Disegniamo il grafico della seguente funzione irrazionale: ______ y = 4 1 x2 + 3x La funzione è definita nell insieme {x R 1 x 1}. Il suo grafico interseca l asse delle ascisse in corrispondenza dei punti in cui la sua espressione è uguale 0: ______ ______ 4 4 4 1 x2 + 3x = 0 4 1 x2 = 3x x1 = __ e x2 = __ 5 5 Di queste due apparenti soluzioni dell equazione, solo la prima è però accettabile; la seconda non è accettabile perché, dovendo essere 3x 0, la soluzione non può essere positiva. ATTENZIONE! A PPoiché deve essere: _____ 4 1 x 2 = 3x allora necessariamente 3x 0 perché la radice indica sempre un valore non negativo. _4_ ( 5 ; 0) è il punto di intersezione del grafico della funzione con l asse delle ascisse. 335

Il Maraschini-Palma - volume 5
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