Il Maraschini-Palma - volume 5

6 Per x 0, la derivata seconda è positiva e quindi la curva rivolge la concavità verso l alto. L origine è un flesso orizzontale. Nell origine O coincidono tre punti, perché l equazione x3 = 0 ha soluzione x = 0 con molteplicità 3. b. Abbiamo: y = 4x3 y (0) = 0 y = 12x2 y (0) = 0 Sia per x 0 la derivata seconda ( 12x2) è negativa. L origine è un massimo; la funzione rivolge sempre la concavità verso il basso. Il grafico è ottenuto per simmetria rispetto all asse delle ascisse da quello della funzione y = x4, considerato precedentemente. c. Abbiamo: y = 5x4 y (0) = 0 y = 20x3 y (0) = 0 La situazione è analoga a quella del caso a. L origine è un flesso orizzontale e in esso coincidono cinque punti, poiché la soluzione dell equazione x5 = 0 è x = 0 con molteplicità 5. Derivate e grafici y O 1 x 1 x 1 x a. y O b. y O c. Le tre funzioni polinomiali esaminate nell esempio precedente fanno intuire che la parità o la disparità del grado di una funzione polinomiale determina se, in corrispondenza del valore di x per cui si annullano entrambe le derivate (la prima e la seconda), si ha un punto di flesso oppure un punto di massimo o minimo relativo. In generale, data una funzione y = xn, se n è pari la derivata seconda è ancora di grado pari e quindi il suo segno è positivo sia per x 0: non cambiando la concavità, l origine è un minimo. Se invece n è dispari, cambia nell origine il segno della derivata seconda e quindi l origine è un flesso. D altra parte, la parità o la disparità di y = xn possono essere anche viste in questo modo: Q n è pari se, in 0, la prima derivata che non si annulla (perché è costante) è di ordine pari; Q n è dispari se, in 0, la prima derivata che non si annulla (perché è costante) è di ordine dispari (è la derivata n-esima). Queste ultime considerazioni valgono non solo per qualunque altra funzione polinomiale, ma anche per qualunque funzione che sia derivabile più volte. Di tale teorema diamo qui soltanto l enunciato. Puoi trovare la dimostrazione negli Approfondimenti online. 333

Il Maraschini-Palma - volume 5
Il Maraschini-Palma - volume 5