Il Maraschini-Palma - volume 5

RELAZIONI E FUNZIONI ATTENZIONE! A L Localmente il grafico ha un tratto rettilineo e, quindi, per tale tratto la concavità non è né verso il basso né verso l alto. Quindi la derivata seconda è uguale a 0 prima e dopo il punto F. b. la curva non cambia di concavità perché il grafico ha localmente un andamento rettilineo: in tale caso la derivata seconda è nulla sia prima sia dopo tale punto. F c. la curva non cambia di concavità e la derivata seconda ha lo stesso segno prima e dopo il punto. Da un punto di vista algebrico, ciò può verificarsi quando l equazione che esprime la funzione e l equazione della retta tangente in quel punto hanno più di due soluzioni coincidenti. y 1 F 1 x Per esempio, il grafico qui sopra rappresentato è quello della funzione y = x4. Come è ovvio passa per l origine, in corrispondenza di questo punto la derivata y = 4x3 ha valore 0, come pure la derivata seconda y = 12x2. Quest ultima è positiva sia per x 0 e la curva ha sempre la concavità rivolta verso l alto. Nell origine coincidono in questo caso quattro punti perché il sistema: y = x4 {y = 0 (funzione data) (sua tangente nell'origine) ha come equazione risolvente x4 = 0 che ha quattro soluzioni reali coincidenti. esempio O Studiando il segno della derivata seconda, analizza se il grafico delle seguenti funzioni ha nell origine un flesso, un minimo o un massimo: a. y = x3 b. y = x4 c. y = x5 L origine appartiene al grafico di ognuna delle tre funzioni. a. Abbiamo: y = 3x2 y (0) = 0 y = 6x y (0) = 0 332

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