I flessi

6 Derivate e grafici Ma i valori del coefficiente angolare sono i valori della derivata: in questo tratto perciò la derivata f della funzione è crescente. D altra parte, la derivata seconda f è la derivata prima di f : perciò, poiché f cresce, la derivata seconda f è positiva. In sostanza (considerando anche l eventualità che la curva abbia tratti rettilinei): concavità verso l alto f non decrescente f 0 Possiamo fare un ragionamento analogo anche per i tratti in cui il grafico di una funzione ha la concavità rivolta verso il basso: concavità verso il basso f non crescente f 0 Risulta così giustificato da un punto di vista grafico il seguente teorema. TEOREMA (concavità del grafico di una funzione) Data la funzione y = f(x), derivabile almeno due volte in tutti i punti di un intervallo (a ; b), abbiamo: x (a ; b), f (x) 0 il grafico della funzione in (a ; b) rivolge la concavità verso l alto; x (a ; b), f (x) 0 il grafico della funzione in (a ; b) rivolge la concavità verso il basso. FISSA I CONCETTI Concavità verso l alto f (x) 0 Concavità verso il basso f (x) 0 I flessi Nei punti in corrispondenza dei quali la derivata seconda è uguale a zero, si possono presentare diverse situazioni: a. la curva cambia di concavità e la derivata seconda cambia di segno prima e dopo il valore corrispondente al punto: il punto viene detto flesso e la tangente in esso attraversa la curva. Tale tangente viene detta tangente inflessionale. F Questo è un esempio di flesso obliquo, in cui la curva cambia di concavità nel punto F in corrispondenza del quale f (x) = 0. Se F è un punto stazionario, allora in esso anche f (x) = 0 e il flesso ha la tangente orizzontale: è un flesso orizzontale e sai già individuarlo con lo studio della derivata prima. Se invece in corrispondenza del punto F abbiamo f (x) 0 e f (x) = 0 allora non è un punto stazionario, la tangente inflessionale non è parallela all asse delle ascisse ed è, quindi, un flesso obliquo. Un flesso obliquo si individua, appunto, con lo studio della derivata seconda. Nell esempio disegnato qui sopra f (x) 0 per x > xF (concavità verso l alto). 331

Il Maraschini-Palma - volume 5
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