Il Maraschini-Palma - volume 5

RELAZIONI E FUNZIONI DEFINIZIONE Il grafico di una funzione, continua in un intervallo (a ; b), rivolge la concavità verso l alto se, preso comunque un suo punto P (a ; b), esiste almeno una retta per P tale che per nessun valore dell intervallo il grafico si trova al di sotto di essa. Se la curva, grafico della funzione, ha in ogni punto la tangente, allora tale retta tutta al di sotto del grafico è proprio la tangente nel punto. P P Concavità verso l alto. DEFINIZIONE Il grafico di una funzione, continua in un intervallo (a ; b), rivolge la concavità verso il basso se per ogni punto dell intervallo esiste una retta tale che la curva non sta mai al di sopra di essa. Tale retta (se la curva ha in ogni punto la tangente) è proprio la tangente. P P Concavità verso il basso. ATTENZIONE! A P Possiamo definire la concavità del grafico di una funzione in un intervallo (a ; b) considerando due punti del grafico nell intervallo e disegnando il segmento che li unisce: se il segmento non è mai al di sotto del grafico allora la concavità è verso l alto, se il segmento non è mai al di sopra del grafico la concavità è verso il basso. Consideriamo allora un tratto del grafico di una funzione f derivabile due volte e che abbia la concavità verso l alto: le tangenti non stanno al di sopra della curva. Per semplicità supponiamo che, in questo tratto, la curva non sia mai rettilinea: le rette tangenti non si sovrappongono mai a essa. Le rette tangenti nei punti della curva stanno quindi sempre al di sotto di essa e, all aumentare di x, il loro coefficiente angolare aumenta: y P4 P1 P2 O 330 P3 x

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