La concavità di un grafico

6 Derivate e grafici La concavità di un grafico Sappiamo che la derivata prima di una funzione esprime la sua crescita, decrescita o stazionarietà. Anche la derivata seconda esprime qualcosa di immediatamente visibile da un punto di vista grafico. Consideriamo, per esempio, la funzione y = x3 3x2 x + 3 e tracciamone il grafico. y y A 1 1 O 1 1 x O F x B La derivata prima è y = 3x2 6x 1, il cui grafico è una parabola. La derivata seconda è y = 6x 6, il cui grafico è una retta. Analizziamo contemporaneamente le tre curve (rappresentate nel colonnino) in diversi punti e intervalli e vediamo quali informazioni è possibile trarre da f . f cubica f parabola f retta a sinistra cresce, ma con pendenza decresce e i suoi di A sempre minore; le punti hanno ordinata tangenti hanno positiva coefficiente angolare via via minore e sono sopra la curva. La concavità è verso il basso cresce e i suoi punti hanno ordinata negativa in A c è un massimo relativo il punto A ha ordinata negativa tra A e F decresce; le tangenti decresce e i suoi sono sopra la curva. La punti hanno ordinata concavità è verso il basso negativa cresce e i suoi punti hanno ordinata negativa in F decresce ma la curva F è il vertice della cambia la curvatura: è un parabola (minimo); flesso da qui la curva comincia a crescere in F la retta interseca l asse x: l ordinata è uguale a 0 tra F e B decresce; le tangenti sono sotto la curva. La concavità è verso l alto cresce e i suoi punti hanno ordinata negativa cresce e i suoi punti hanno ordinata positiva in B c è un minimo relativo in B interseca l asse il punto B ha x (è uno zero) ordinata positiva a destra di B cresce; le tangenti sono sotto la curva. La concavità è verso l alto cresce e i suoi punti hanno ordinata positiva A è un punto in cui la parabola interseca l asse x (è uno zero) f y A O B x F cresce e i suoi punti hanno ordinata positiva B y O f F x A f 329

Il Maraschini-Palma - volume 5
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