Il Maraschini-Palma - volume 5

RELAZIONI E FUNZIONI esempi ATTENZIONE! A L derivate successive di una Le funzione polinomiale conducono sempre alla funzione nulla. Ciò non accade invece per la funzione esponenziale: poiché D(ex) = ex, D (n)(ex) = ex per ogni n N0. O Calcola la derivata ottava delle seguenti funzioni: a. y = x4 b. y = ex c. y = senx a. y = 4x3; y = 12x2; y = 24x; y(6) = ... = y(8) = 0 y(4) = 24; y(5) = 0; b. D(8) (ex) = ex. c. Abbiamo: y = cosx; y = senx; y = cosx; y(4) = senx; tutte le derivate di y = senx aventi come ordine un multiplo di 4 sono uguali a senx. Perciò D(8) (senx) = senx. O Il seguente grafico esprime il moto di un oggetto lungo una linea retta. La variabile t rappresenta il tempo; la variabile s rappresenta lo spazio percorso. s O t0 t1 t2 t3 t4 t5 t a. In quali istanti la velocità dell oggetto è nulla? b. In quali intervalli la velocità è positiva (e, quindi, l oggetto si allontana dal punto di partenza) e in quali è negativa? c. possibile stabilire in quale intervallo la velocità è costante? d. possibile stabilire quando la velocità aumenta e quando diminuisce? e. possibile stabilire quando l accelerazione è positiva? a. Sappiamo che la velocità istantanea è la derivata della funzione s(t) che esprime lo spazio in funzione del tempo. nulla nei punti stazionari di ascissa t1 e t3. b. positiva quando il grafico è crescente, negli intervalli [t0 ; t1) e (t1 ; t3); è negativa nell intervallo (t3 ; t5]. c. La velocità è costante quando la pendenza della curva rimane costante, quando cioè lo spazio percorso è rappresentato da un segmento, come nell intervallo [t4 ; t5]. d. La velocità aumenta negli intervalli in cui la pendenza del grafico aumenta: in essi il grafico ha la concavità verso l alto. Ciò accade nell intervallo (t1 ; t2). La velocità diminuisce quando la pendenza del grafico diminuisce; quando cioè la sua concavità è verso il basso, come negli intervalli [t0 ; t1) e (t2 ; t4). e. L accelerazione è la variazione istantanea della velocità. , quindi, la derivata della funzione v(t) cioè la derivata seconda di s(t): s (t). positiva quando la velocità aumenta; come abbiamo già visto ciò accade nell intervallo (t1 ; t2). 328

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