Il Maraschini-Palma - volume 5

RELAZIONI E FUNZIONI Ne segue che: se x tende a 2 da sinistra, i valori della funzione sono negativi; se x tende a 2 da destra i valori della funzione sono positivi, quindi: x2 1 lim _ = x 2 x 2 x2 1 lim+ _ = + x 2 x 2 Abbiamo inoltre lim y = . La funzione non ha perciò asintoti orizzontali. x Poiché il numeratore supera di un grado il denominatore, la funzione ha un asintoto obliquo che possiamo determinare eseguendo la divisione: (x2 1) : (x 2) = x + 2 con resto 3. Quindi: 2 x 1 3 ______ = x + 2 + _____ x 2 x 2 La funzione, così riscritta, è la somma di una funzione lineare (l asintoto) e di 3 un termine (y = _____) che tende a 0 per x tendente all infinito. x 2 La retta y = x + 2 è asintoto obliquo della funzione sia sinistro sia destro. Per disegnare il grafico della funzione, ricerchiamo i punti stazionari: __ x2 4x + 1 3 e per e si annulla per x = 2 La derivata della funzione è y = __________ __ (x 2)2 x = 2 + 3. inoltre positiva all esterno dell intervallo che ha per estremi tali valori. __ __ Quindi in __ A(2 __3 ; 4 2 3) la funzione ha un massimo relativo e in B(2 + 3 ; 4 + 2 3) un minimo relativo. y B 2 A O 2 x La ricerca degli asintoti obliqui Per le funzioni di tipo più generale è possibile determinare l eventuale asintoto obliquo calcolando due particolari limiti. Innanzitutto occorre controllare che sia: lim f(x ) = x Questa è, infatti, la condizione necessaria, ma non sufficiente, affinché la funzione abbia un asintoto di equazione y = mx + q. Calcoliamo poi: f(x) lim _ x x Se tale limite è finito, esso dà il coefficiente angolare m dell asintoto obliquo; se è non c è l asintoto obliquo; se m = 0 l asintoto è orizzontale. Stabilito m, determiniamo il termine noto q calcolando: lim (f(x ) mx) x 326

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