Gli asintoti

RELAZIONI E FUNZIONI FISSA I CONCETTI x0 I punto di massimo relativo: I(x0) tale che f(x) f(x0), x I x0 I punto di minimo relativo: I(x0) tale che f(x) f(x0), x I x0 I punto di massimo assoluto: f(x) f(x0), x I x0 I punto di minimo assoluto: f(x) f(x0), x I Teorema: f(x) definita in I, x0 interno a I, f(x) derivabile in x0 se (x0 ; y0) è un punto massimo o minimo allora f (x0) = 0 Possibili punti di massimo o di minimo: estremi dell insieme di definizione; punti in cui la f non è derivabile; punti stazionari. Gli asintoti y O h x Sappiamo che una retta tangente all infinito al grafico di una funzione è un suo asintoto. A seconda dell inclinazione della retta distinguiamo tre tipi di asintoto: verticale, orizzontale, obliquo. La loro esistenza e le loro equazioni possono essere ricavate analiticamente considerando particolari limiti. a. Asintoti verticali Una funzione può avere asintoti verticali (di equazione x = h) solo nei punti in cui non è definita, ma che, tuttavia, sono gli estremi di un insieme aperto in cui essa è definita. La retta x = h è un asintoto verticale della funzione y = f(x) se e solo se: lim f(x) = x h Distinguiamo tra limite destro e limite sinistro per x tendente a h. Scriviamo, nel caso disegnato qui a lato: lim f(x) = + lim+ f(x) = x h x h b. Asintoti orizzontali Una funzione y = f(x) ha un asintoto orizzontale se e solo se tende a un valore finito, per x tendente all infinito. In particolare, una funzione può avere un asintoto orizzontale sinistro (per x tendente a ) e un asintoto orizzontale destro (per x tendente a + ), eventualmente coincidenti: y y k k O x Asintoto orizzontale sinistro y = k: lim f(x ) = k. x O x Asintoto orizzontale destro y = k: lim f(x ) = k. x + c. Asintoti obliqui Quando il limite della funzione, per x tendente all infinito, è , il suo grafico può avere un asintoto obliquo, cioè può essere tangente all infinito a una retta obliqua, di equazione y = mx + q (con m 0). La condizione di tendere all infinito per x tendente all infinito è necessaria, ma non sufficiente perché il grafico abbia un asintoto obliquo. Può anche darsi, infatti, che la funzione 324

Il Maraschini-Palma - volume 5
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