Il Maraschini-Palma - volume 5

6 Derivate e grafici Infine, possono presentarsi situazioni in cui la funzione non ha un punto di minimo assoluto, oppure non ha un punto di massimo assoluto, oppure né l uno né l altro. In base al teorema di Weierstrass (vedi unità 3), tali situazioni si possono presentare per una funzione continua solo se è definita in un intervallo non chiuso, come nel caso rappresentato sotto in cui la funzione è definita nell intervallo aperto (1 ; + ). y APPROFONDIMENTO A N casi fin qui esaminati le Nei funzioni, anche se non derivabili in alcuni punti, erano tutte continue. Si può tuttavia presentare anche il caso di una funzione non continua in x = a che abbia in a un punto di minimo: y O 1 x O a x esempio O Determina il massimo e il minimo assoluti della funzione: ______ y = 2x x2 La funzione è definita per quei valori reali di x per i quali l espressione sotto radice risulta non negativa: 2x x2 0 L insieme di definizione è quindi: {x R 0 x 2}. La funzione è continua e sempre derivabile all interno dell intervallo [0 ; 2]. inoltre sempre positiva. 2_ 2x La funzione derivata è: y = _________ . 2 2x x2 I punti di massimo e minimo assoluti possono trovarsi in corrispondenza degli estremi dell intervallo oppure quando y = 0, cioè in corrispondenza delle soluzioni dell equazione: 2_ 2x _________ =0 2 2x x2 x=1 La soluzione è accettabile. Poiché la funzione è crescente per x 1, in x = 1 avremo un punto di massimo relativo. Calcoliamo allora il valore della funzione nei due punti estremi dell intervallo in cui è definita e nel punto in cui la derivata si annulla: f(0) = 0 f(2) = 0 f(1) = 1 La funzione ha due punti di minimo assoluto in x = 0 e in x = 2 e un punto di massimo assoluto in x = 1. Il suo massimo è M(1 ; 1) (figura a lato). y 2 1 O M 1 2 3 x PROVA TU P D Determina il massimo e il minimo assoluti della _ funzione: y = 3x x2 . Se f è una funzione continua, i punti del suo grafico tra i quali cercare i minimi e i massimi assoluti sono quindi in corrispondenza dei seguenti valori della x: Q i valori estremi dell insieme di definizione (se gli appartengono); Q i valori in cui è definita, ma non è derivabile; Q i valori per i quali la derivata è nulla. 323

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