Il Maraschini-Palma - volume 5

RELAZIONI E FUNZIONI Sussiste il seguente teorema il cui risultato, da un punto di vista intuitivo, abbiamo già utilizzato più volte. TEOREMA (dei punti stazionari) Se una funzione f ha un massimo (o minimo) relativo in corrispondenza di un punto x0 interno al suo insieme di definizione e per x = x0 la funzione è derivabile, allora f (x0) = 0. Dimostrazione Supponiamo che x0 sia un punto di massimo relativo. Allora il rapporto incrementale della funzione: f(x) f(x0) _________ x x0 è maggiore o uguale a 0 per x x0. Tale rapporto è una funzione continua di x perché f è derivabile. Essendo la funzione derivabile, inoltre, esiste il limite per x tendente a x0 di tale rapporto (ed è f (x0)). Per il teorema della permanenza del segno (vedi unità 2), tale limite deve allora essere maggiore o uguale a 0 da destra e minore o uguale a 0 da sinistra. Poiché i due limiti destro e sinistro coincidono in un solo valore, questo deve essere nullo. c.v.d. Il teorema precedente non è invertibile: come già sai, possono esservi punti interni all intervallo di definizione della funzione per i quali la derivata è nulla, ma che non sono né punti di massimo né punti di minimo. Tali sono i punti di flesso orizzontale, come il punto F in questo caso: y F O ATTENZIONE! A Ri Ricorda che tutti i punti per i quali la derivata si annulla sono detti punti stazionari. ATTENZIONE! A Il punto P è un minimo assoluto, ma poiché è angoloso la derivata non vi è definita. Il punto Q è un massimo assoluto, ma poiché è un estremo dell intervallo di definizione, la derivata non vi è definita. 322 x Il teorema inoltre non esaurisce tutti i possibili casi di punti di massimo o di minimo. Vi possono, infatti, essere punti di massimo o minimo laddove la funzione non è derivabile: punti angolosi (quali il punto P nella figura seguente, che è un minimo assoluto), oppure punti agli estremi dell intervallo chiuso in cui è definita (quale il punto Q in figura, che è un massimo assoluto). y Q P O x

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