Lo studio delle funzioni razionali frazionarie

6 Derivate e grafici Notiamo che ai punti stazionari di una funzione corrispondono gli zeri della sua derivata e che agli intervalli in cui una funzione è crescente (decrescente) corrispondono intervalli in cui la sua derivata è positiva (negativa). PROVA TU P Di Disegna il grafico delle seguenti funzioni: a. y = x3 2x2 4x + 8 b. y = 3x4 + 4x3 + 1 Le osservazioni svolte sul grafico delle funzioni polinomiali di terzo e quarto grado si estendono ai gradi superiori. Il numero massimo di gobbe del loro grafico, cioè il numero di volte in cui cambia la sua concavità, dipende dal grado della funzione. Lo studio delle funzioni razionali frazionarie Utilizziamo i criteri di studio di una funzione polinomiale per disegnare il grafico delle funzioni razionali frazionarie. Seguiamo un esempio: vogliamo disegnax re il grafico della funzione: y = ______ x2 1 Il suo insieme di definizione è l insieme dei numeri reali con l esclusione dei due valori che rendono nullo il denominatore. Quindi: R { 1, 1}. Osserviamo che per ogni x appartenente all insieme di definizione: x = f(x) dunque il grafico è simmetrico rispetto all origine. f( x) = ______ 2 x 1 La funzione esiste, quindi, negli intervalli aperti ( ; 1), ( 1 ; 1), (1 ; + ). Esaminiamo il limite della funzione per x tendente agli estremi di questi intervalli: x lim _ = 1 x _ lim 2 = x 1 x 1 x 1 x2 Le rette x = 1 e x = 1 sono asintoti verticali. Ricerchiamo in quali intervalli la funzione è positiva: Q il numeratore (N) è positivo se x > 0; Q il denominatore (D) è positivo se x 1; Q il loro quoziente è positivo quando sono dello stesso segno: 1 0 1 N + + D + + y = f(x) + + R Quindi: lim y = x 1 lim y = + x 1+ lim y = x 1 lim y = + x 1+ Il grafico della funzione passa per l origine e il suo solo zero reale è x = 0. 317

Il Maraschini-Palma - volume 5
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