Il Maraschini-Palma - volume 5

RELAZIONI E FUNZIONI Q nessuna soluzione reale: a4 > 0 a4 < 0 esempio ATTENZIONE! A del tutto indifferente scrivere che la derivata della funzione f(x): y = x4 4x2 + 3 è la funzione f (x) : y = 4x3 8x oppure scrivere che è la funzione y = 4x3 8x. In alcuni esempi abbiamo utilizzato quest ultima scrittura più rapida. In generale utilizzeremo l una o l altra delle scritture indifferentemente. Spesso inoltre, dove non presenti ambiguità, scriveremo semplicemente f, f , f per indicare f(x), f (x), f (x). O Disegna il grafico della funzione f(x): y = x4 4x2 + 3 e delle sue successive derivate. La funzione è simmetrica rispetto all asse delle ordinate. I suoi zeri sono __ __ ( 1 ; 0), (1 ; 0), ( 3 ; 0) e ( 3 ; 0). Il suo grafico interseca l asse delle ordinate in (0 ; 3). La sua derivata è la funzione f (x): y = 4x3 8x. __ f f 3 f f f __ Gli zeri di f (x) sono in ( 2 ; 0), (0 ; 0) e ( 2 ; 0), quindi in corrispondenza di questi valori di x, la tangente al grafico di f(x) è parallela all asse delle ascisse: sono punti stazionari per la funzione f(x). Tracciamo i grafici di f(x) (in nero) e di f (x) (in colore, figura sotto): 2 3 1 2 1 f 2 3 2 2 3 2 3 2 3 2 3 Anche f (x) è una funzione sempre derivabile; possiamo considerare la sua derivata che indichiamo con f (x). La funzione f (x): y = 12x2 8 è una parabola (in grigio nella figura a lato) i __ __ 2_ _ _2_ ; 0 in corrispondenza di questi la tangente cui zeri sono ; 0 e ( 3 ) ( 3 ) al grafico di f (x) è parallela all asse delle ascisse. Deriviamo quest ultima funzione. Otteniamo f (x): y = 24x . Il suo grafico è una retta passante per l origine, in corrispondenza di questo valore la parabola, grafico di f (x), ha il vertice. Possiamo derivare ancora e ottenere y = 24 , il cui grafico è una retta parallela all asse delle ascisse; tutte le derivate successive sono y = 0, l asse delle ascisse. 316

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