Il grafico di una funzione razionale intera di terzo grado

6 Derivate e grafici Se n è dispari, la funzione si comporta in modo diverso a seconda che x tenda a + o che tenda a . Il grafico, a meno di cambi di concavità intermedie, rimane complessivamente crescente se an è maggiore di 0, decrescente se an è minore di 0. questo il caso, per esempio, della retta o della funzione polinomiale di terzo grado: y y O O x Se an > 0, lim f(x) = + , lim f(x) = x + x x Se an < 0, lim f(x) = , lim f(x) = + x + x d. Una funzione razionale intera è sempre derivabile, per ogni x reale (per il teorema della derivata di una funzione polinomiale, vedi unità 5, paragrafo 3). Con l aiuto della sua derivata è possibile individuare la concavità della funzione e i suoi flessi: uguagliando a 0 la funzione derivata si determinano i punti stazionari della funzione, che sono i suoi punti di massimo relativo, di minimo relativo o di flesso orizzontale che ne descrivono forma e andamento. Come già detto, sappiamo disegnare il grafico delle funzioni polinomiali di primo e di secondo grado senza ricorrere a calcoli particolari, in quanto si tratta rispettivamente di una retta e di una parabola. Analizziamo nel dettaglio come applicare i criteri generali visti sopra per le funzioni polinomiali di terzo e quarto grado. Il grafico di una funzione razionale intera di terzo grado Se la funzione è del tipo: y = a3x3 + a2x2 + a1x + a0 i possibili grafici (vedi pagina seguente) si ricavano dalle seguenti informazioni: a. il segno del coefficiente di grado massimo a3: se il coefficiente del termine di grado massimo è positivo, il grafico è definitivamente crescente (nel disegno che segue i grafici sono indicati in colore), altrimenti è definitivamente decrescente (grafici in nero); b. il numero degli zeri reali (eventualmente tra loro coincidenti); possiamo avere: tre zeri reali distinti: il grafico della funzione interseca l asse delle ascisse in tre punti distinti (grafici a., b.); tre zeri reali, di cui due coincidenti: il grafico della funzione è tangente in un punto all asse delle ascisse (c., e.); tre zeri reali coincidenti: in tale caso il grafico ha un flesso F dove la tangente è orizzontale e coincide con l asse x. F è il centro di simmetria del grafico (d., g.); una soluzione reale: il grafico interseca l asse delle ascisse in un solo punto (grafico f.). 311

Il Maraschini-Palma - volume 5
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