Il Maraschini-Palma - volume 5

RELAZIONI E FUNZIONI Vogliamo ora generalizzare, a partire da alcune proprietà comuni a tutte le funzioni di questo tipo. a. Poiché l espressione di una funzione razionale intera di grado n è la somma algebrica di n + 1 termini, per individuarla occorre conoscere n + 1 coefficienti e, quindi, avere n + 1 relazioni che consentano di determinarli. Per individuare una particolare funzione razionale intera di grado n, occorrono perciò n + 1 punti di diversa ascissa e non tutti allineati. b. Gli zeri della funzione, cioè le intersezioni del suo grafico con l asse delle ascisse, sono le soluzioni reali dell equazione che si ottiene uguagliando a 0 il polinomio: anxn + an 1xn 1 + an 2xn 2 + + a1x + a0 = 0 Ricordiamo che una equazione polinomiale di grado n ha al più n soluzioni reali. ATTENZIONE! A Il teorema fondamentale dell algebra afferma che una equazione polinomiale di grado n ha al più n soluzioni reali. Così un equazione di secondo grado ha al più 2 soluzioni reali, una di terzo 3 e così via. Alcune di queste soluzioni possono essere coincidenti. Il numero di soluzioni che coincidono in un solo valore dà la molteplicità di quella soluzione. Per esempio, risolvendo un equazione di secondo grado come x2 2x + 1 = 0, si possono trovare due soluzioni coincidenti in un solo valore x1 = x2 = 1. Si dice allora che quel valore (x = 1) è una soluzione di molteplicità 2. Ogni zero va considerato con la sua molteplicità: Q può trattarsi di una normale soluzione dell equazione (la molteplicità è 1); è un punto in cui la curva interseca l asse delle ascisse; Q può trattarsi di due soluzioni coincidenti (la molteplicità è 2): è un punto in cui la curva è tangente all asse delle ascisse; Q può trattarsi di tre soluzioni coincidenti (la molteplicità è 3): è un punto di flesso; Q può trattarsi di una soluzione con molteplicità anche maggiore: è un punto di tangenza o di flesso in cui coincidono più soluzioni. c. Per x tendente all infinito una funzione di questo tipo tende all infinito. Il comportamento per x tendente a + o a dipende dal grado della funzione (che può essere pari o dispari) e dal coefficiente del termine di grado massimo (che può essere positivo o negativo). Q Se n è pari, la funzione si comporta nello stesso modo sia che x tenda a + sia che tenda a . Il grafico presenta complessivamente una sorta di concavità, verso l alto se an è positivo, verso il basso se an è negativo. y y O x Se an > 0, lim f(x ) = lim f(x ) = + x + 310 x O x Se an < 0, lim f(x ) = lim f(x ) = x + x

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