Il Maraschini-Palma - volume 5

6 Derivate e grafici omonimo del francese Alexandre Dumas (1802-1870) e descrive la fortezzaprigione dove l Abate Faria scava per cercare una via di fuga, mentre intanto però la fortezza stessa cresce rapidamente: il tunnel dovrebbe avanzare con velocità maggiore di quella della crescita della fortezza perché egli possa uscire. In questa presentazione sono in gioco le due rispettive derivate: della funzione che descrive l andamento dello scavo e di quella che descrive l andamento della costruzione della fortezza. L impegno dell Abate non funzionerà perché invece che all esterno arriverà nella cella dove è da tempo segregato il giovane Edmondo Dantès. In questo brano di descrizione della velocità dello scavo, l autore si sofferma su un paradosso attribuendolo al pensiero dello scavatore che tenta la fuga: «Ma se la fortezza cresce con la velocità del tempo, per fuggire bisogna andare ancora più svelti, risalire il tempo. Il momento in cui mi ritroverei fuori [pensa l Abate Faria] sarebbe lo stesso momento in cui sono entrato qui: m affaccio finalmente sul mare; e cosa vedo? Una barca piena di gendarmi sta approdando a If; in mezzo c è Edmondo Dantès incatenato . Di fatto è andato oltre il tempo e, quindi, è tornato indietro rispetto al presente. U. Boccioni, Forme uniche della continuità nello spazio, Museo del Novecento, Milano. L attenzione alla velocità di un cambiamento di un qualsiasi fenomeno, oggetto d indagine, permette di rappresentare mentalmente e graficamente il suo andamento nel tempo. Il grafico aiuta a formulare supposizioni, fare previsioni, coltivare speranze, preparare le azioni da compiere. L andamento grafico è sempre un aiuto visivo che contiene molte informazioni utili. Questo nei campi più disparati: dal grafico della temperatura corporea misurata a una persona nel corso di una giornata, per capire il decorso della sua influenza, all andamento, osservato con continuità, di investimenti finanziari di chi è particolarmente attento ai mutamenti proprio per direzionare i propri investimenti, all attenzione ai cambiamenti climatici, a tutte le altre situazioni in cui una buona descrizione del presente e lo studio della rapidità del suo variare permette di fare ipotesi sul futuro. Ci siamo soffermati sull importanza che assume la valutazione e la descrizione della velocità istante per istante di un fenomeno che evolve nel tempo perché in questa unità esamineremo come lo studio della derivata di una funzione aiuti proprio a rappresentare graficamente il suo andamento. Riprendiamo, quindi, lo studio del grafico di una funzione, già affrontato negli anni passati e richiamato anche nella prima unità di questo volume, aggiungendo le conoscenze sul calcolo dei limiti per studiare alcuni suoi comportamenti tendenziali (il comportamento all infinito e in prossimità dei punti di discontinuità) e soprattutto sulla sua funzione derivata per individuarne alcuni valori caratteristici e il loro corrispondente significato grafico (i punti stazionari, i flessi, ecc.). Sono questi a darci indicazioni utili per disegnare con buona approssimazione l andamento del grafico della funzione. Preliminarmente, come abbiamo già fatto per le funzioni razionali intere (polinomiali) e in alcuni casi per quelle frazionarie, stabiliamo per una qualsiasi funzione che vogliamo analizzare in quale insieme essa è definita, se conosciamo o possiamo facilmente individuare i suoi eventuali zeri e le intersezioni, se esistono, del suo grafico con l asse delle ordinate. Q L insieme di definizione indica in corrispondenza di quali intervalli dell asse delle ascisse è possibile tracciare il grafico della funzione. Un intervallo in cui la funzione è definita può essere chiuso (e allora la funzione assume valori anche ai suoi estremi) o aperto (e, in tal caso, occorre esaminare il limite della funzione quando x tende a ognuno degli estremi dell intervallo). Otteniamo così ulteriori informazioni. 307

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