Il Maraschini-Palma - volume 5

i matem m L eggere di matematica Quindi, esiste un limite invalicabile al processo di formalizzazione e di costruzione su basi logiche dell impianto matematico: esso, senza ricorrere a livelli superiori, non può, tramite sé stesso, garantire la sua non contraddittorietà. Una nuova prospettiva Il teorema di incompletezza di G del, fece venir meno la speranza di una costruzione meramente logico-formale della matematica. Questo risultato aprì tuttavia un nuovo campo di indagine. Finito il sogno strettamente logicista il pensiero matematico cominciò sempre più a orientarsi verso la costruibilità dei propri oggetti piuttosto che, come era stato nei decenni precedenti, centrare l attenzione sulla loro astratta coerenza. Inizia così a svilupparsi l indagine sulla logica delle procedure, sulla loro effettiva calcolabilità, sulla concreta costruzione degli oggetti definiti. Saranno proprio questi studi che consentiranno di giungere a una definizione del concetto di algoritmo e di funzione effettivamente calcolabile e di individuare progressivamente il disegno logico di un automa esecutore. Un automa che potrà elaborare quantità enormemente grandi di dati ma mai infinite e che potrà eseguire calcoli in tempi di difficile percezione per quanto sono piccoli e possono dare l idea quasi di simultaneità (ma che comunque non sono mai uguali a 0). Il concetto di funzione calcolabile implica tuttavia una procedura per calcolarla e una struttura, una macchina che sia in grado di eseguire tale procedura. La personalità centrale in questo ambito di indagine logico-matematico è sicuramente Alan Mathison Turing (1912-1954) più per le sue intuizioni che per la completezza delle opere lasciate: i suoi studi sono stati la base teorica dell attuale informatica, che può essere così vista come sviluppo successivo della ricerca logica. Turing era inglese e durante la Seconda guerra mondiale contribuì a decrittare il codice Enigma usato dai tedeschi per le comunicazioni radio. Divenne una personalità scomoda nel clima di Guerra fredda dei primi anni Cinquanta e cadde vittima di pubbliche intrusioni nella sua vita personale che lo indussero al suicidio. Alan M. Turing partì dalla definizione di funzione come un sistema di ingresso -uscita, cioè come un sistema (input output) che a uno o più valori delle variabili in ingresso associa un risultato. Una funzione è effettivamente calcolabile quando esiste una procedura o, come diciamo oggi, un algoritmo, che permette tale passaggio da input a output. Egli ricondusse il concetto di funzione effettivamente calcolabile alla possibilità che il passaggio da input a output sia eseguibile da un automa universale che egli descrisse nel suo sistema logico di funzionamento e che viene comunemente chiamato macchina universale di Turing. I protagonisti della matematica Alan Mathison Turing (19121954) è stato un matematico e logico matematico britannico. Pioniere della scienza dell informazione e dell intelligenza artificiale, ha legato il suo nome, in particolare, a un metodo da lui indicato per dare un significato preciso al concetto intuitivo di funzione effettivamente computabile mediante una macchina astrattamente definita macchina di Turing. La è costituita da un nastro diviso in campi, il quale può scorrere in un senso o nell altro quanto si vuole; ciascun campo è adatto a contenere esattamente un simbolo di un ben determinato alfabeto finito. La macchina inoltre possiede una memoria, capace di ritenere un numero finito di istruzioni, e un «occhio in grado di esaminare esattamente un campo per volta. Una macchina di Turing, trovandosi di fronte a determinati simboli scritti (in conformità di precise istruzioni), esegue il relativo calcolo e si porta in una nuova posizione finale esibendo il risultato del calcolo. «Funzione effettivamente calcolabile e «funzione calcolabile con la macchina universale di Turing divengono così due concetti equivalenti, proprio per l universalità che egli attribuì alla macchina logica descritta nel suo funzionamento. La macchina di Turing è una sorta di prototipo di quello che sarà, successivamente, la macchina a programma elaborata anni dopo dal matematico e fisico statunitense John von Newmann (1903-1957) e sarà quindi la base logica dei successivi sviluppi fino ai moderni computer. 285

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