Il Maraschini-Palma - volume 5

ggere gere di Come abbiamo accennato, G del elaborò un sistema attraverso il quale è possibile codificare tramite numeri e formule aritmetiche non soltanto simboli e proposizioni della matematica ma anche proposizioni sulla matematica. Quelle proposizioni, cioè, che per usare un termine coniato da Hilbert appartengono alla metamatematica. Con opportuni numeri di G del, si codificano correttamente e in modo univoco, proposizioni elementari, proposizioni più complesse, formule con predicati, assiomi, dimostrazioni all interno di una teoria e anche affermazioni sulla teoria stessa, cioè proposizioni della metamatematica. Tutte le considerazioni metamatematiche sull aritmetica possono quindi essere espresse da formule aritmetiche. Ebbene, G del mostrò come, tra le varie possibili formule, si possa costruire una formula aritmetica, denominata G, che, una volta decifrata, significhi: «la formula G non è dimostrabile : formula G: «la formula G non è dimostrabile Si ottiene una situazione per certi versi analoga a quella del paradosso del mentitore, dal quale abbiamo preso le mosse nella lettura dell unità 3. Infatti: se G (che afferma che G non è dimostrabile) è dimostrabile, allora «G non è dimostrabile ; se G non è dimostrabile, allora la formula G è dimostrabile. Se dunque vogliamo che il sistema di assiomi sia consistente, al suo interno non è possibile dimostrare G, perché immediatamente sarebbe dimostrabile la sua negazione nonG e si avrebbe una contraddizione. Ma allora, in tale teoria, G risulta una formula vera (perché effettivamente non dimostrabile), ma non può essere un teorema (perché, appunto, non è dimostrabile). Poiché si è ottenuta una formula vera, ma non dimostrabile, la teoria non è completa. In più, G del dimostrò che si può costruire una formula aritmetica che, una volta decifrata, significa: formula A: «l aritmetica è consistente Dimostrò quindi l implicazione A che, una volta interpretata, significa: G «Se l aritmetica è consistente, allora G non è dimostrabile. Ma la stessa formula A è indimostrabile. Infatti, se A fosse dimostrabile, allora, avendo già dimostrato A G, si avrebbe, applicando la regola del Modus ponens: A A G vera G vera quindi, anch essa vera Come abbiamo visto, però, G non è dimostrabile e quindi non è dimostrabile la formula A: non è perciò dimostrabile che l aritmetica è consistente. Il significato del teorema di G del è, comunque, il seguente: l aritmetica, con l utilizzo dei suoi propri mezzi (e cioè attraverso il processo di aritmetizzazione) non può dimostrare la sua propria consistenza. D altra parte, l aritmetica (cioè l insieme delle proposizioni riguardanti i numeri naturali) è alla base dell intero impianto costruttivo della matematica. 284 4

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