Il Maraschini-Palma - volume 5

i matem L eggere di matematica L ambito di riferimento dell indagine della logica di G del è quello delle affermazioni che contengono uno o più predicati e i relativi argomenti e, quindi, possibili variabili, quantificatori, esistenziale e universale, valori di verità di proposizioni semplici o composte e formule con variabili e relative proprietà. In sintesi, quello che comunemente viene chiamato calcolo dei predicati. G del, i cui risultati possono essere considerati tra i più importanti della storia del pensiero del secolo scorso, dimostrò inizialmente (1930) un teorema che prende il nome di teorema di completezza del calcolo dei predicati. Il teorema stabilisce che ogni formula universalmente vera, espressa nel linguaggio del calcolo dei predicati, può essere dedotta a partire da un insieme di assiomi e scegliendo un opportuno sistema di regole che permettono di passare da una formula all altra. Il teorema stabilisce, quindi, l equivalenza tra due modi diversi di stabilire la verità di una formula: a. una formula è vera in quanto risulta vera qualunque sia il valore di verità delle formule che la compongono (è cioè come una tautologia); b. una formula è vera in quanto è dimostrata a partire da un sistema di assiomi con determinate regole di inferenza (è cioè un teorema). In questo senso, il sistema costruito (assiomi e regole) è completo. Il teorema di completezza sembrava confermare l impostazione secondo la quale un maggiore sforzo di ricerca avrebbe messo ordine nei sistemi assiomatici fino a far sì che si costruissero sistemi assiomatici coerenti e che si mettesse un definitivo ordine sui sistemi dimostrativi e il modo di procedere della logica. Era in fondo l idea di David Hilbert (di cui abbiamo parlato nel precedente gruppo di letture circa il rapporto tra logica e formalizzazione) che intendeva arrivare a dimostrare la coerenza dei diversi sistemi assiomatici che regolavano i vari settori della matematica. La possibilità di un sistema completo che permettesse di far coincidere verità e dimostrabilità sembrava andare proprio in quella direzione. I protagonisti della matematica Invece, solo un anno dopo, nel 1931, G del mise fine a una grande illusione razionalista: cioè la possibilità che la matematica sia in grado di dimostrare la propria non-contraddittorietà. E lo fece proprio a partire dal sistema più elementare, ma fondamentale della costruzione matematica: l aritmetica; perché dimostrò che un sistema coerente di assiomi e regole non può arrivare a dimostrare ogni possibile affermazione ben formata che in quel sistema possa essere formulata. Questo risultato, che viene comunemente chiamato teorema di G del, o teorema di incompletezza, può essere così enunciato: se un sistema di assiomi dell aritmetica elementare è consistente, allora non è completo. Affermato e dimostrato per l aritmetica, vale ancor più per sistemi formali più complessi. Ciò vuol dire che, se vogliamo avere un sistema di assiomi da cui non si possano dedurre contraddizioni, dobbiamo rinunciare all idea che in esso si possano dimostrare tutte le proposizioni vere dell aritmetica: esisteranno necessariamente delle proposizioni indecidibili, che non possono cioè né essere dimostrate né essere rifiutate. Per capire appieno la rilevanza e le decisive conseguenze del teorema di G del (la cui effettiva dimostrazione richiederebbe concetti e formalizzazioni più complessi), seguiamo le linee del suo ragionamento negli Approfondimenti online. Il matematico e filosofo Kurt G del (1906-1978) è stato libero docente di matematica all università di Vienna dal 1933 al 1938. Dopo il 1938 è emigrato negli USA, di cui prese la cittadinanza nel 1948. stato membro permanente (dal 1946) dell Institute for advanced study (Istituto di studi avanzati, Princeton) e dell Association for symbolic logic (Associazione per la logica simbolica). Si è occupato prevalentemente di logica matematica, di teoria degli insiemi e di teoria della relatività. 283

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