La derivata di una potenza a esponente reale

5 Calcolo delle derivate La derivata di una potenza a esponente reale La regola per la derivazione delle funzioni composte può essere applicata anche in combinazione con altre regole di derivazione. Essa permette così di generalizzare la regola di derivazione della funzione potenza al caso in cui la potenza sia un qualunque numero k R e non più soltanto, come abbiamo visto finora, un numero intero. TEOREMA (derivata di una potenza a esponente reale) Dato un qualunque numero k R, la funzione y = xk (con x > 0) è derivabile e la sua funzione derivata è y = kxk 1. Dimostrazione Essendo x > 0 anche xk è positivo. Abbiamo perciò: k xk = elnx = eklnx Applicando la regola della derivazione composta: 1 Dxk = D(eklnx) = eklnx D(klnx) = xk k __ = kxk 1 x c.v.d. esempi _ O Determina la funzione derivata di y = x. _ _1_ Poiché la funzione è definita per x 0 e x = x2 possiamo applicare, per ogni x > 0, il teorema precedente ottenendo: _1_ _1_ _ 1 1 1 1_ D x = _ x2 = _ x 2 = _ 2 2 2 x La derivata non esiste per x = 0. Infatti la retta tangente al grafico è, in tale punto, l asse y. _______ O Determina la funzione derivata di y = 4x2 1. una funzione composta e la sua funzione derivata, definita in _1_ _1_ {x R x + 2}, è: 4x 1 _______ _______ y = _________ D(4x2 1) = _________ 2 4x2 1 2 4x 1 | Con i teoremi considerati possiamo anche determinare la funzione derivata della funzione esponenziale con base un qualsiasi numero positivo. Cioè la derivata di y = ax, con a R+. Ricordiamo, infatti, che, per le proprietà di logaritmi ed esponenziali, un qualsiasi numero reale positivo a può essere equivalentemente scritto come elna: a = elna per ogni a R+ Perciò: ax = (elna)x = exlna Abbiamo quindi, per la regola di derivazione di una funzione composta: D(ax) = D(exlna) = exlna lna = ax lna Quindi: D(ax) = ax lna Approfondisci La notazione di Leibniz ATTENZIONE! A Ri Ricorda che l esponenziale di base e di un numero e il calcolo del logaritmo naturale dello stesso numero sono due operazioni una inversa dell altra: a lna elna a FISSA I CONCETTI Q Q Q f (x) = xk (con x > 0 e k R) f (x) = kx k 1 _ 1 f (x) = x f (x) = __ 2 x f (x) = ax f (x) = ax lna 275

Il Maraschini-Palma - volume 5
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