Il Maraschini-Palma - volume 5

RELAZIONI E FUNZIONI ATTENZIONE! A importante i esplicitare sempre la variabile rispetto a cui si effettua la derivata, giacché questo è uno dei punti delicati nell applicare il teorema. ATTENZIONE! A L regola per la derivazione di una La funzione composta può essere ricordata cosi: si moltiplica la derivata della funzione più esterna (rispetto alla variabile u) per quella della funzione più interna (rispetto alla variabile x). La derivata rispetto alla variabile x di una funzione composta si ottiene pertanto moltiplicando la derivata della funzione più esterna (rispetto alla sua variabile u) per la derivata della funzione più interna (rispetto alla variabile x). La regola può essere scritta in diversi modi. comodo utilizzare, come faremo negli esempi, l operatore D per indicare la derivata e scrivere: Dc(x) = Dg(u) Df(x) esempi O Dopo aver individuato le funzioni componenti, determina la derivata della funzione: a. y = senx2 b. y = sen2x a. La funzione y = senx2 è così composta: x f (x) = x2 = u g(u) = senu = y Poiché D(x2) = 2x e D(senu) = cosu abbiamo: D(senx2) = D(senu) D(x2) = (cosu) 2x = 2xcosx2 b. La funzione y = sen2x è così composta: FISSA I CONCETTI Derivata della funzione composta: se c(x) = g(f(x)) allora c (x) = g (f(x)) f (x) x f (x) = senx = u g(u) = u2 = y Si moltiplica la derivata della funzione quadrato (rispetto a u = senx) per la derivata della funzione seno (rispetto a x): D(u2) = 2u D(senx) = cosx D(sen2x) = 2senxcosx APPROFONDIMENTO A L regola di derivazione per funzioni composte può essere generalizzata al caso in cui le funzioni La componenti sono più di due: y = h(g(f(...x))) Occorre sempre tenere conto dell ordine con cui sono applicate successivamente le funzioni, procedendo nel costruire uno schema, da quella più interna. Per esempio, se la funzione è y = ln(cos3(2x2 1)), lo schema di applicazione è il seguente: u = 2 x2 1 u = cos u u 3 = u 32 y = ln(u 3) 1 2 1 x u 1 u 2 u 3 y u1 = 2x 2 1 u2 = cos(2x 2 1) u3 = cos3(2x2 1) y = ln(cos3(2x2 1)) Per calcolare poi la derivata procediamo dall esterno: la derivata di ogni funzione componente va calcolata considerando come sua variabile l espressione della funzione immediatamente più interna (nel sottoinsieme in cui è definita). Così, per l'esempio considerato otteniamo: 1 D (cos3(2x 2 1)) = y = __________ cos3(2x2 1) 1 (3cos2(2x 2 1)) D (cos(2x 2 1) = = __________ cos3(2x2 1) 1 (3cos2(2x 2 1)) ( sen(2x 2 1)) D (2x 2 1) = = __________ cos3(2x2 1) 3 sen(2x 2 1) 1 (3cos2(2x 2 1)) ( sen(2x 2 1)) 4x = ____________ 4x = __________ 3 2 cos (2x 1) cos(2x 2 1) Quindi: y = 12x tan(2x 2 1) 274

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