5 - La derivata di una funzione composta

5 Calcolo delle derivate esempio O Calcola la derivata delle seguenti funzioni: x lnx a. y = ___ b. y = ___ lnx x c. y = x lnx Dx lnx x D(lnx) ______ lnx 1 a. y = _________________ = (lnx)2 (lnx)2 D(lnx) x lnx D(x) ______ 1 lnx b. y = __________________ = x2 x2 c. y = lnx + 1 5 La derivata di una Esercizi da pag. 301 funzione composta Nell unità 1 abbiamo studiato che è possibile comporre due o più funzioni per ottenere una nuova funzione; nell unità 3 abbiamo visto che la continuità di una funzione si tramette per composizione. Ci possiamo chiedere se e come sia possibile derivare una funzione composta. Analizziamo la seguente situazione. Supponiamo che, in un determinato intervallo di tempo, una grandezza Y (per esempio il prezzo della benzina) raddoppi rispetto a un altra grandezza U (per 1 esempio il prezzo del gasolio) e quest ultima diminuisca di __ rispetto a una terza 3 grandezza X (per esempio il prezzo del metano). Qual è il rapporto di variazione tra la grandezza Y e la grandezza X? La grandezza Y è ora il doppio di un terzo rispetto a X. Possiamo perciò scrivere: Y ____ Y ____ U _2_ ___ = = X U X 3 Se una grandezza dipende da una seconda grandezza e questa da una terza, il tasso di variazione della prima rispetto alla terza si ottiene moltiplicando i due tassi di variazione relativi (della prima rispetto alla seconda e di questa rispetto alla terza). Questa relazione, che vale per i tassi di variazione medi, vale anche per i tassi di variazione istantanei. Consideriamo una funzione composta c(x), generata da due funzioni reali y = g(u) e u = f(x): c(x) = g(f(x)) Sussiste il seguente teorema, di cui tralasciamo la dimostrazione. TEOREMA (derivazione composta) Se u = f(x) è una funzione derivabile in x0 e y = g(u) è una funzione derivabile in u0 = f(x0), allora, indicata con c(x) la funzione composta g(f(x)), abbiamo: c (x0) = g (u0) f (x0) 273

Il Maraschini-Palma - volume 5
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