La derivata della funzione logaritmica

RELAZIONI E FUNZIONI La derivata della funzione logaritmica Vogliamo determinare la derivata della funzione logaritmica. Considerando il significato geometrico della derivata disegniamo il grafico della funzione y = lnx e tracciamo la retta tangente a esso in alcuni punti: y O 1 x Ricordiamo che la funzione logaritmica è definita per x > 0 e che, nel suo insie me di definizione, è sempre crescente: il coefficiente angolare della tangente al grafico in un qualsiasi punto è dunque positivo e quindi il grafico della sua fun zione derivata sarà tutto nel primo quadrante. Per valori di x vicini a 0, la tangente è fortemente inclinata: avvicinandosi a 0 essa tende all asintoto verticale; il suo coefficiente angolare tende quindi a + per x tendente a 0. Anche la sua funzione derivata ha l asse delle ordinate come asintoto verticale. Nel punto (1 ; 0) la tangente è parallela alla bisettrice: il suo coefficiente angola re è 1 e, quindi, il grafico della funzione derivata passa per il punto (1 ; 1). All aumentare di x, la funzione y = lnx è sempre crescente, ma l inclinazione della tangente diminuisce progressivamente: per x tendente a + , il suo coeffi ciente angolare tende a 0. La sua funzione derivata ha l asse delle ascisse come asintoto orizzontale. 1 Il grafico per x > 0 è un ramo di iperbole equilatera di equazione y = __: x y 1 O 1 x Questo risultato ottenuto geometricamente è formalizzato nel seguente teorema, la cui dimostrazione è riportata negli Approfondimenti online. Approfondisci Dimostrazione del teorema (derivata della funzione logaritmica) 272 TEOREMA (derivata della funzione logaritmica) La funzione y = lnx è derivabile nel suo insieme di definizione R+ e la 1 sua derivata è la funzione y = __. x

Il Maraschini-Palma - volume 5
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