La derivata di una potenza a esponente intero

5 Calcolo delle derivate La derivata di una potenza a esponente intero Abbiamo visto che le potenze con esponente naturale sono derivabili e che (xn) = n xn 1; vogliamo adesso dimostrare che la funzione y = x n è derivabile per ogni x R0 e trovare la sua derivata. Iniziamo con un esempio. 1 La funzione y = x 4 può essere riscritta come y = __4 ed è definita per ogni x R0. x In tale insieme la funzione y = x4 è sempre derivabile quindi, per il teorema della funzione reciproca, la funzione y = x 4 è sempre derivabile nel suo insieme di definizione R0 e la sua derivata è: 0 x4 1 4 x3 4 x3 1 y = ____________ = _ = 4 _5 = 4 x 5 8 x x8 x Le considerazioni appena fatte per la funzione y = x 4, possono essere generalizzate al caso di una funzione y = x n, per ogni n N. Osserviamo innanzitutto che l insieme di definizione della funzione y = x n, è R0. Inoltre, in tale insieme la funzione y = xn è derivabile. Ne segue, per il teorema della funzione reciproca, che la funzione y = x n è derivabile in R0 e la sua derivata è: D(xn) n xn 1 n n ______ D(x n) = _____ = = ______ = ____ = nx n 1 2n 2n 2n n+1 n+1 x x x x Se poniamo k = n, la regola può essere così riscritta: D(xk) = kxk 1 La regola ottenuta è perciò uguale a quella stabilita per la funzione y = xn con n N; questa volta però l esponente non è un intero positivo ma un intero qualunque. Abbiamo così una regola per la derivata di una potenza che vale per un qualsiasi esponente intero, positivo, nullo o negativo che sia. Tuttavia, nel caso in cui l esponente sia intero negativo, dobbiamo restringere l insieme di definizione e quindi di derivabilità a R0. Possiamo dunque sintetizzare quanto appena trovato, nel seguente teorema. TEOREMA (potenza a esponente intero) La funzione y = xk, per ogni k Z, è derivabile in R0. La sua derivata è la funzione y = kxk 1. esempi ATTENZIONE! A Il teorema a lato è stabilito per ogni k Z. Se k > 0 ci riportiamo al caso di esponente naturale, già esaminato precedentemente; se k < 0 è il caso visto qui a lato. Anche se k = 0 il teorema è valido. Infatti, se la funzione è y = x0 = 1, allora la sua derivata è la funzione y = 0. D altra parte, per il teorema qui enunciato, la sua derivata è y = 0 x 1 = 0. PROVA TU P O Calcola le derivate delle seguenti funzioni: 4 3 a. y = __3 __2 + 3x x x b. y = 3x 2 + 4x 1 + 5 C Calcola la derivata delle seguenti funzioni: 1 a. y = 2x 4 + ____ x 3 + 2x2 + 4 3 1 b. y = ___ x2 2x 2 2 Abbiamo: 12 6 a. y = 4 ( 3)x 4 3 ( 2)x 3 + 3 = ___4 + __3 + 3 x x 6 4 b. y = 6x 3 4x 2 = __3 __2 x x f(x) = x (con k Z) FISSA I CONCETTI k f (x) = kxk 1 271

Il Maraschini-Palma - volume 5
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