Il Maraschini-Palma - volume 5

RELAZIONI E FUNZIONI Con l utilizzo di tali regole sulle operazioni con le derivate, possiamo trovare la derivata di altre funzioni fondamentali. Consideriamo la funzione y = tanx, definita per x __ + k 2 senx Poiché tanx = ____, la funzione è derivabile quando cosx 0. Dove è derivabile cosx abbiamo (applicando la regola del quoziente): cosx cosx senx ( senx) ____________ cos2x + sen2x _____ 1 y = ________________________ = = 2 2 cos x cos x cos2x Possiamo scrivere la derivata in un altro modo equivalente: cos2x + sen2x sen2x _____ y = ____________ = 1 + = 1 + tan2x cos2x cos2x La funzione è derivabile in tutti i punti in cui cosx 0: questi punti sono gli stessi per i quali la funzione è definita. TEOREMA (derivata della tangente) La funzione y = tanx è derivabile in tutto il suo insieme di definizione. La sua derivata è la funzione y = 1 + tan2x. cosx In modo analogo consideriamo la funzione y = ____. La funzione è derivabile senx quando senx 0. Abbiamo: senx senx cosx cosx _____________ cos2x sen2x 1 y = ______________________ = = _____ 2 sen x sen2x sen2x Anche in questo caso abbiamo un espressione equivalente per la derivata: cos2x y = ______ 1 = cot2x 1 sen2x cosx La funzione _ è stata considerata nel suo significato geometrico nei Complesenx menti dell unità 1 del volume precedente. stato allora indicato che a tale funzione viene dato il nome di cotangente ed è stata indicata con y = cot(x). Possiamo così affermare che: la funzione y = cotx è derivabile in tutto il suo insieme di definizione e la sua derivata è la funzione y = cot2x 1. esempio O Calcola la derivata delle seguenti funzioni: a. y = 4x tanx tanx b. y = ____ ex FISSA I CONCETTI Q Q Q Q f _1_ = __ 2 (f) f fg __f = f g ___ 2 (g) g 1 f(x) = tanx f (x) = _____ cos2x f(x) = tanx f (x) = 1 + tan2x 270 a. Applichiamo la regola del prodotto: y = D(4x) tanx + 4x D(tanx) = = 4tanx + 4x(1 + tan2x) = 4xtan2x + 4tanx + 4x b. Applichiamo la regola del quoziente: 1 + tan2 x) ex ex tanx D(tanx) ex tanx D(ex) (______________________ y = ____________________ = = e2x (ex)2 ex(1 + tan2 x tanx) ______________ 1 + tan2 x tanx = _________________ = 2x ex e

Il Maraschini-Palma - volume 5
Il Maraschini-Palma - volume 5