Il Maraschini-Palma - volume 5

5 Calcolo delle derivate TEOREMA (derivata del quoziente di due funzioni) Se due funzioni f e g sono definite in un intorno I di x0 e se: g(x0) 0; f e g sono derivabili in x0; f allora la funzione reale __ definita in un intorno I di x0 è derivabile in x0 g e abbiamo: f (x 0) g(x 0) f(x 0) g (x 0) f _ (x 0) = _________________________ 2 (g) (g(x 0)) Abbiamo così tutte le regole operative per il calcolo delle derivate. Le riassumiamo nella seguente tabella: operazione derivata addizione o sottrazione: f g (f g) = f g moltiplicazione: f g (f g) = f g + f g moltiplicazione per una costante a: a f (a f) = a f f divisione: __ g g f g f f __ = ___________ 2 (g) g Riassumiamo le stesse regole riscrivendole come proprietà dell operatore di derivazione D: D(f g) = D(f ) D(g) D(f g) = D(f ) g + f D(g) D(a f ) = a D(f ) D(f ) g f D(g) f D __ = _______________ (g) g2 esempi O Calcola la derivata delle seguenti funzioni: 3x a. y = ______ x2 1 6x2 + 2x + 3 b. y = ___________ 4x2 + 2 x 2e c. y = ___ x3 Applichiamo sempre la regola del quoziente: D(3x) (x2 1) 3x D(x2 1) a. y = ___________________________ (x2 1)2 2 3(x 1) 3x 2x _________ 3x2 3 x2 + 1 ________ = _______________ = = 3 (x2 1)2 (x2 1)2 (x2 1)2 D(6x2 + 2x + 3) (4x2 + 2) (6x2 + 2x + 3) D(4x2 + 2) b. y = _______________________________________________ = (4x2 + 2)2 (12x + 2)(4x2 + 2) (6x2 + 2x + 3) 8x _________ 2x2 + 1 = = _______________________________________________ 2 2 4(2x + 1) (2x2 + 1)2 2ex(x 3) 2x2ex(x 3) _________ 2ex x3 2ex 3x2 __________ c. y = _______________ = = x4 x6 x6 PROVA TU P C Calcola la derivata delle seguenti funzioni: 1 a. y = ____ senx x2 x 1 b. y = _________ x2 + 2x 3______ + ex c. y = 1 ex 269

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