4 - Le derivate delle funzioni frazionarie

RELAZIONI E FUNZIONI Esercizi da pag. 296 4 Le derivate delle funzioni frazionarie La derivata di un quoziente Supponiamo che f e g siano due funzioni derivabili in un intorno di x0 e che, inoltre, g(x0) sia diverso da 0. Poiché g(x) è derivabile, è anche continua e, quindi, il suo limite, per x tendente a x0, è g(x0). f La funzione __ risulta definita in un intorno di x0. Ci chiediamo se la funzione sia g derivabile e quale sia la sua derivata. TEOREMA (derivata della funzione reciproca) Se f è una funzione reale definita in un intorno I di x0 e se: Q f(x0) 0; Q f è derivabile in x0; 1 allora la funzione reale _ è definita in un intorno I di x0, è derivabile in f x0 e abbiamo: f (x0) _ 1 _ (f) (x0) = (f(x0) )2 ATTENZIONE! A Il teorema della permanenza del segno è stato enunciato nell unità 2 come proprietà del limite di una funzione. Dimostrazione Per ipotesi, f(x0) 0. Poiché f è continua (e derivabile) in x0, per il teorema della permanenza del segno esiste un intorno di x0 in cui la funzione ha lo stes1 so segno di f(x0). Quindi, esiste certamente un intorno di x0 dove _ è definita. f 1 Il rapporto incrementale della funzione _ può essere così scritto: f 1 1 f(x 0) f(x 0 + h) 1 1 _ _ _ = _ _______________ = h( f(x 0 + h) f(x 0)) h f(x 0) f(x 0 + h) f(x 0 + h) f(x 0) ______________ 1 = _______________ h f(x 0) f(x 0 + h) Poiché f è derivabile in x0: f(x 0 + h) f(x 0) lim _______________ = f (x 0) ( ) h 0 h Poiché f è continua in x0: 1 1 lim ______________ = _2 f(x 0 + h) (f(x 0)) Quindi: h 0 f(x 0) f (x 0) 1 1 1 lim _ _ _ = _ + h) f(x 0))) ( f(x 0))2 h 0(h( f(x 0 c.v.d. Da questo teorema e dal teorema del prodotto ricaviamo la regola di derivazione f 1 del quoziente di due funzioni. Infatti _ = _ f quindi: ( g g) g f g fg f _ f 1 1 1 _ _ _ _ _ _ (g) = ((g) f) = (g) f + (g) f = g2 f + g = g2 268

Il Maraschini-Palma - volume 5
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