La derivata di una funzione polinomiale

5 Calcolo delle derivate Applicando più volte la regola del prodotto possiamo calcolare la derivata di una potenza a esponente naturale. Per esempio, per calcolare la derivata di y = x2, possiamo pensare x2 = x x e applicare il teorema del prodotto da cui otteniamo che la derivata è: y = 1 x + x 1 = 2x. Analogamente, la derivata di x3 può essere calcolata come derivata di y = x2 x e risulta y = 2x x + x2 1 = 3x2. PROVA TU P C Calcola la funzione derivata di ognuna delle seguenti funzioni: a. y = 3x cosx b. y = e2x 2 c. y = 4e3x d. y = 5ex cosx Più in generale: TEOREMA (derivata di una potenza a esponente naturale) La funzione y = xn, con n N, è sempre derivabile in R. La sua derivata è la funzione: y = n xn 1 FISSA I CONCETTI Q Q Q (f g) = f g + f g (a f + b g) = a f + b g (x n) = n x n 1 La derivata di una funzione polinomiale Applicando i teoremi precedenti possiamo calcolare la derivata di una qualsiasi funzione razionale intera. Una funzione razionale intera (cioè polinomiale) risulta essere, in base ai teoremi stabiliti, oltre che continua, sempre derivabile in R. La derivata della funzione y = an xn + an 1 xn 1 + . + a1 x + a0 è la funzione y = n an xn 1 + (n 1) an 1 xn 2 + + a1 APPROFONDIMENTO A L derivata di una funzione polinomiale di grado n è una funzione polinomiale di grado n 1. La Si tratta di una funzione ancora continua e derivabile per ogni x reale. Possiamo allora trovare la sua derivata. Così procedendo, otteniamo funzioni di grado decrescente fino ad arrivare a una funzione costante, la cui derivata è y = 0. Questa caratteristica è tipica delle funzioni polinomiali e le differenzia, per esempio, da una funzione esponenziale, che riproduce invece sé stessa nelle sue variazioni. esempi O Calcola la funzione derivata delle seguenti funzioni: a. y = 4x4 2x2 + 3x b. y = x3 1 x3 x2 c. y = _ _ + 3x 1 3 2 Indicando con y la funzione derivata e applicando i teoremi studiati nel paragrafo abbiamo: a. y = 4 4x4 1 2 2x2 1 + 3 1 = 16x3 4x + 3 b. y = 3x3 1 0 = 3x2 1 1 c. y = __ 3 x2 __ 2x + 3 1 0 = x2 x + 3 3 2 O Calcola la funzione derivata delle seguenti funzioni intere: a. y = 3senx + 5x4 2 b. y = 3x2cosx sen2x + 6x ex Abbiamo, in base ai teoremi precedenti: a. y = 3cosx + 5 4x4 1 = 3cosx + 20x3 b. y = 3 2xcosx + 3x2( senx) senxcosx senxcosx + 6ex + 6x ex = 6xcosx 3x2senx 2senxcosx + 6ex + 6xex PROVA TU P C Calcola la funzione derivata delle seguenti funzioni: a. y = x3 + 4 b. y = 3x4 + 2x3 4x 1 5 c. y = __ x2 + 3x +__ 2 4 d. y = x7 + 2x7 4x3 + 5x FISSA I CONCETTI Una funzione polinomiale è ovunque derivabile in R: f(x) = anxn + an 1xn 1 + ... + a0 f (x) = nanxn 1 + (n 1)an 1xn 2 + + ... + a1 267

Il Maraschini-Palma - volume 5
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