Il Maraschini-Palma - volume 5

RELAZIONI E FUNZIONI Per le proprietà delle operazioni tra limiti finiti, possiamo considerare separatamente: lim f(x 0 + h) = f(x 0) h 0 g(x 0 + h) g(x 0) lim ________________ = g (x 0) h f(x 0 + h) f(x 0) lim _______________ = f (x 0) h 0 h h 0 perché f(x) è continua in x0, essendo derivabile in x0 perché g(x) è derivabile in x0 perché f(x) è derivabile in x0 Quindi, esiste ed è finito il f(x 0 + h) f(x 0) g(x 0 + h) g(x 0) lim f(x 0 + h) lim ______________ + lim g(x 0) lim _____________ = h 0 h 0 h 0 h 0 h h = f(x 0) g (x 0) + g(x 0) f (x 0) Questa è la derivata della funzione prodotto di f(x) e g(x) per x = x0. c.v.d. Il teorema precedente afferma tre cose: se due funzioni sono derivabili, lo è anche la funzione del loro prodotto; la derivata del prodotto non è uguale al prodotto delle derivate; Q la derivata del prodotto è data dalla derivata della prima funzione per la seconda non derivata più la derivata della seconda funzione per la prima non derivata. Q Q Da questo teorema ricaviamo che se f è una funzione derivabile in x0 allora lo è anche la funzione a f (per ogni a R) e la sua derivata è 0 f + a f , cioè a f . ATTENZIONE! A P combinazione lineare Per di due funzioni indicate con f e g intendiamo l espressione a f+b g essendo a e b due numeri reali qualsiasi. Più in generale: TEOREMA (derivata di una combinazione lineare) Se f e g sono due funzioni derivabili in x0 allora anche la funzione della loro combinazione lineare a f + b g (con a, b numeri reali qualsiasi) è derivabile in x0 e la sua derivata è a f + b g . esempi O Calcola la funzione derivata di ognuna delle seguenti funzioni: a. y = 2x senx c. y = e2x e. y = excosx x+2 b. y = e d. y = 2senx cosx a. Poiché D(2x) = 2 e D(senx) = cosx y = 2senx + 2xcosx b. Dalle proprietà delle potenze e x+2 = ex e2. Inoltre: D(ex) = ex e D(e2) = 0 perché e2 è una costante. Quindi: y = ex e2 + ex 0 = e x+2 Possiamo osservare che il grafico della funzione e x+2 si ottiene dalla funzione ex per traslazione: non mutano le sue variazioni istantanee e, quindi, come y = ex, ha per derivata sé stessa. ATTENZIONE! A P l operatore D vale, quindi, Per questa ulteriore proprietà: D(f g) = D(f ) g + f D(g) L operatore D soddisfa la proprietà di linearità: D(a f + b g) = a D(f ) + b D(g) 266 c. Dalle proprietà delle potenze: e2x = ex ex. Quindi: y = ex ex + ex ex = 2e2x d. Poiché D(2senx) = 2cosx e D(cosx) = senx: y = 2cosxcosx + 2senx( senx) = 2cos2x 2sen2x e. Poiché D(ex) = ex e D(cosx) = senx, abbiamo: y = excosx exsenx = ex(cosx senx)

Il Maraschini-Palma - volume 5
Il Maraschini-Palma - volume 5