La derivata di un prodotto

5 Calcolo delle derivate esempi O Le seguenti funzioni sono sempre derivabili in R. Scrivi la funzione derivata di ciascuna di esse. a. y = senx + cosx b. y = cosx 2 c. y = x + ex a. Sappiamo che D(senx) = cosx e D(cosx) = senx; utilizzando il teorema della somma e indicando per semplicità con y la funzione derivata abbiamo: y = cosx senx. b. Per le stesse considerazioni sulla derivata della funzione coseno e sapendo che la derivata di una funzione costante è la funzione nulla, abbiamo: y = senx. Osserva che y = senx è la derivata di tutte le funzioni del tipo y = cosx + k, essendo k un qualunque numero reale. c. Sapendo che D(x) = 1 e D(ex) = ex abbiamo: y = 1 + ex. Il grafico della funzione derivata è quello di ex traslato secondo il vettore v = (0 ; +1). ATTENZIONE! A Ab Abbiamo già detto che la derivata di una funzione f si può anche indicare con D(f ). Il simbolo D indica un operatore che associa a una funzione la sua derivata. Il teorema della derivata di una somma indica che l operatore D ha una proprietà di linearità: D(f + g) = D(f ) + D(g) PROVA TU P C Calcola la funzione derivata delle seguenti funzioni: a. y = 2x + senx. b. y = cosx ex 3 FISSA I CONCETTI Q Q (f + g) = f + g (f g) = f g La derivata di un prodotto Possiamo calcolare la derivata di un prodotto di funzioni semplicemente moltiplicando le derivate delle singole funzioni? La risposta è negativa: la derivata di un prodotto non è uguale al prodotto delle derivate. Per il prodotto vale infatti la regola stabilita da Leibniz ed espressa nel seguente teorema. TEOREMA (derivata di un prodotto) Se f e g sono funzioni reali definite in un intorno di x0, entrambe derivabili in x0, allora la funzione fg è derivabile in x0 e abbiamo: (f g) (x0) = f (x0) g(x0) + f(x0) g (x0) Dimostrazione Scriviamo il limite del rapporto incrementale della funzione prodotto fg: (fg) (x 0 + h) (fg) (x 0) f(x 0 + h) g(x 0 + h) f(x 0) g(x 0) lim ____________________ = lim _______________________________ h 0 h 0 h h Dobbiamo riscrivere tale limite in un modo equivalente, ma più semplicemente riconducibile a limiti che conosciamo. Per questo usiamo l artificio di riscriverlo aggiungendo e togliendo una stessa espressione. Se aggiungiamo e togliamo al numeratore l espressione f(x0 + h) g(x0) otteniamo un espressione equivalente: (fg) (x 0 + h) (fg) (x 0) lim ____________________ = h 0 h f(x 0 + h) g(x 0 + h) f(x 0) g(x 0) + f(x 0 + h) g(x 0) f(x 0 + h) g(x 0) = = lim ________________________________________________________________ h 0 h f(x 0 + h) g(x 0 + h) f(x 0 + h) g(x 0) + f(x 0 + h) g(x 0) f(x 0) g(x 0) = lim ________________________________________________________________ = h 0 h f(x 0 + h) f(x 0) g(x 0 + h) g(x 0) = lim f(x 0 + h) ________________ + g(x 0) _______________ ( ) h 0 h h 265

Il Maraschini-Palma - volume 5
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