3 - Le derivate delle funzioni intere

RELAZIONI E FUNZIONI Esercizi da pag. 294 3 Le derivate delle funzioni intere Conoscendo le derivate delle funzioni identità, costante, seno, coseno ed esponenziale, possiamo trovare la derivata di altre funzioni utilizzando i teoremi che riguardano le operazioni con le derivate. La derivata di una somma o di una differenza Se un fenomeno è descrivibile come somma di altri due, è evidente che l andamento delle sue variazioni sarà dato dalla somma delle rispettive variazioni dei fenomeni che lo compongono. La rapidità complessiva del suo mutare è la somma delle rapidità dei due suoi componenti. Per esempio, in fisica due grandezze di tipo estensivo quali la massa, la carica elettrica, l energia, hanno proprio questa caratteristica di additività del loro complessivo variare. Ma anche l andamento del prezzo di una merce e la sua rapidità di mutare, qualora il prezzo risulti dalla somma di due fattori, per esempio costo di produzione e imposta, si ottengono semplicemente addizionando le rispettive variazioni dell una e dell altra e relative rapidità. Il teorema che qui segue stabilisce proprio che se una funzione è ottenibile come somma (o differenza) di altre due o più funzioni, la sua derivata si ottiene addizionando (o sottraendo) le rispettive derivate delle funzioni che la compongono. TEOREMA (derivata di una somma o di una differenza) Se f e g sono funzioni reali definite in un intorno di x0, entrambe derivabili in x0, allora le funzioni f + g e f g sono derivabili in x0 e abbiamo: (f + g) (x0) = f (x0) + g (x0) (f g) (x0) = f (x0) g (x0) Dimostrazione Limitiamoci a dimostrare il teorema per la somma. Dalla definizione di derivata abbiamo, per x = x0: f(x 0 + h) f(x 0) g(x 0 + h) g(x 0) f (x 0) = lim _______________ g (x 0) = lim ________________ h 0 h 0 h h Per ipotesi, f e g sono derivabili in x0 e, quindi, tali limiti esistono e sono finiti. Per il teorema della somma dei limiti otteniamo: f(x 0 + h) f(x 0) g(x 0 + h) g(x 0) f (x 0) + g (x 0) = lim _______________ + lim ________________ = h 0 h 0 h h f(x 0 + h) f(x 0) + g(x 0 + h) g(x 0) = = lim ________________________________ h 0 h PROVA TU P Di Dimostra il teorema per la differenza di funzioni: (f g) (x0) = f (x0) g (x0) (f(x 0 + h) + (g(x 0 + h) ) (f(x 0) + g(x 0)) = = lim _____________________________________ h 0 h (f + g) (x 0 + h) (f + g) (x 0) = (f + g) (x 0) = lim _________________________ h 0 h c.v.d. Quindi: se due funzioni sono derivabili, la derivata della loro somma (o differenza) è uguale alla somma (o differenza) delle loro derivate. 264

Il Maraschini-Palma - volume 5
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