La derivata della funzione esponenziale

5 Calcolo delle derivate Questo legame tra i grafici delle funzioni seno e coseno ha una certa invertibilità, perché anche dalla funzione y = senx possiamo ricavare la variazione istantanea della funzione y = cosx, come risulta dal seguente teorema. PROVA TU P Di Dimostra il teorema sulla derivata della funzione coseno. TEOREMA (derivata della funzione coseno) La funzione y = cosx, è sempre derivabile in R. La sua derivata è la funzione y = senx. FISSA I CONCETTI Q Q f(x) = senx f (x) = cosx f(x) = cosx f (x) = senx La derivata della funzione esponenziale Un ulteriore funzione elementare utile per la costruzione di altre funzioni è la funzione esponenziale. ATTENZIONE! A TEOREMA (derivata della funzione esponenziale) La funzione y = ex è sempre derivabile in R. La sua derivata è la funzione y = ex. Per dimostrare il teorema dobbiamo utilizzare un limite fondamentale, di cui puoi trovare la dimostrazione negli Approfondimenti online: ex 1 lim _ = 1 x 0 x indifferente i scrivere la funzione esponenziale di base a in uno di questi due modi: y = expa(x) e y = ax Per maggiore semplicità, utilizzeremo il secondo. Così piuttosto che scrivere y = expe(x) scriviamo y = ex Approfondisci Dimostrazione La funzione y = ex è sempre definita e continua in R. Per un qualunque valore x0, consideriamo il limite del rapporto incrementale al tendere a 0 dell incremento di x0. Abbiamo: Dimostrazione del limite x e 1 fondamentale lim_ = 1 x 0 x ex 0+h ex 0 ex 0 eh ex 0 lim_________ = lim__________ = h 0 h 0 h h da cui, mettendo in evidenza ex 0, abbiamo: e 1 lim ______ ex 0 h h 0( h ) ATTENZIONE! A = Per il limite fondamentale sopra enunciato sappiamo che, qualunque sia h R: eh 1 lim _ = 1 h 0 h U funzione esponenziale Una riproduce, nelle sue variazioni, un andamento esponenziale; se la sua base è il numero e, riproduce esattamente sé stessa. La funzione y = ex coincide, quindi, con la propria derivata. Quindi: eh 1 eh 1 lim ______ ex 0 = lim______ lim ex 0 = 1 ex 0 = ex 0 ) h 0 h h 0( h h 0 Per ogni x R tale limite esiste ed è finito. La funzione y = ex è sempre derivabile in R e la sua derivata è y = ex. c.v.d. Complessivamente, in questo paragrafo abbiamo dimostrato queste prime derivate fondamentali: f f k 0 x 1 senx cosx cosx senx ex ex FISSA I CONCETTI f(x) = e x f (x) = ex 263

Il Maraschini-Palma - volume 5
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