2 - Le derivate delle funzioni fondamentali

5 Calcolo delle derivate 2 Le derivate delle funzioni Esercizi da pag. 293 fondamentali La funzione costante e la funzione identica sono due funzioni elementari sempre definite e continue in R, a partire dalle quali è possibile generare, con le operazioni di addizione, sottrazione e moltiplicazione, un insieme di funzioni anch esse sempre definite e continue in R: l insieme delle funzioni razionali intere (funzioni polinomiali). La derivata di una costante e della funzione identica TEOREMA (derivata della funzione costante) ATTENZIONE! A Una funzione costante f(x) = k è sempre derivabile in R e la sua derivata è la funzione y = f (x) = 0. Il teorema afferma che se f è una funzione costante allora: Q x0 R la funzione è derivabile in x0; Q inoltre f (x0) = 0. Del resto sappiamo che, se una grandezza è costante, il suo tasso di variazione è sempre 0. L funzione costante non è in verità La una sola funzione, ma un insieme di infinite funzioni esprimibili con y = k, k R. Possiamo considerarle come una sola funzione dato il loro identico comportamento rispetto alla derivabilità. Dimostrazione Data la funzione f: y = k, comunque scegliamo x0 R, la derivata in x0 è: f(x 0 + h) f(x 0) k k lim _______________ = lim _ = lim 0 = 0 h 0 h h 0 h h 0 c.v.d. Geometricamente, il teorema può essere così interpretato: la direzione di una retta parallela all asse delle ascisse è sempre 0 o, in altri termini, il coefficiente angolare della retta di equazione y = k è uguale a 0. TEOREMA (derivata della funzione identità) La funzione identica y = x è sempre derivabile in R e la sua derivata è la funzione costante: y=1 Dimostrazione Preso qualsiasi x0 R, la derivata in x0 è per definizione: f(x 0 + h) f(x 0) x+h x h lim _______________ = lim _ = lim _ = lim 1 = 1 h 0 h 0 h 0 h h 0 h h Il limite esiste ed è finito, qualunque sia x0 R: la funzione è sempre derivabile in R. c.v.d. Anche di questo teorema è possibile dare un interpretazione geometrica: il grafico della funzione identica è la bisettrice del I e del III quadrante e il suo coefficiente angolare è costantemente uguale a 1. ATTENZIONE! A indifferente i chiamare la funzione y = x funzione identica o funzione identità. FISSA I CONCETTI Q Q f(x) = k (costante) f (x) = 0 k R f(x) = x f (x) = 1 261

Il Maraschini-Palma - volume 5
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