Il Maraschini-Palma - volume 5

RELAZIONI E FUNZIONI O Rappresenta approssimativamente il grafico delle seguenti funzioni e determina i punti in cui esse non sono derivabili: 1 a. y = _ c. y = ln|x| x 1 b. y = [x] d. y = |lnx| y 1 x a. La funzione non è definita per x = 1; il suo grafico è un iperbole che ha come asintoto verticale la retta x = 1 e come asintoto orizzontale l asse delle ascisse. Per ogni x dove è definita la funzione anche derivabile: infatti è sempre possibile parlare di tangente all iperbole in ogni suo punto. Solo in corrispondenza di x = 1, dove non è definita, la funzione non è continua e quindi non derivabile (figura a lato). b. La funzione y = [x] (parte intera) è sempre definita ma non è continua in ogni x Z. In tali punti non è derivabile perché il limite sinistro e il limite destro esistono finiti ma sono diversi. y O ATTENZIONE! A IlI grafico c. si ottiene con la simmetria indicata perché oltre a considerare i valori positivi di x dobbiamo considerare anche i simmetrici valori negativi. Q Nel grafico d. soltanto i valori positivi di x fanno parte dell insieme di definizione della funzione. La sua immagine invece si ottiene considerando i valori di lnx se x maggiore o uguale a 0 e i valori di lnx se x compreso tra 0 e 1. Q PROVA TU P R Rappresenta approssimativamente il grafico delle seguenti funzioni e determina i punti in cui esse non sono derivabili: 2 4| a. y = | x_ 2 b. y = x_ 4 c. y = |x2 4| FISSA I CONCETTI La continuità è condizione necessaria, ma non sufficiente, per la derivabilità di una funzione. 260 x c. La funzione y = ln|x| non è definita per x = 0. Il suo grafico si ottiene da quello di y = lnx considerando la simmetria rispetto all asse delle ordinate. Per ogni x appartenente al suo insieme di definizione, la funzione è derivabile; non lo è infatti solo in corrispondenza di x = 0. y 1 O 1 x d. La funzione y = |lnx| è definita e continua per x > 0. Il suo grafico si ottiene da quello di y = lnx eseguendo la simmetria rispetto all asse delle ascisse della parte che è al di sotto di esso. La funzione non è derivabile in x = 1, dove ha un punto angoloso. y O 1 x

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