Il Maraschini-Palma - volume 5

RELAZIONI E FUNZIONI ATTENZIONE! A In questo grafico i punti rossi indicano le decrescite, quelli verdi le crescite e il punto nero corrispondente al 2014 indica che la variazione percentuale rispetto al 2013 è stata praticamente irrilevante. 2,50% 2,00% 1,50% 1,00% 0,50% 0,00% 0,50% 1,00% 1,50% 2,00% 2,50% 20 0 20 1 0 20 2 0 20 3 0 20 4 0 20 5 0 20 6 0 20 7 0 20 8 0 20 9 1 20 0 1 20 1 1 20 2 1 20 3 1 20 4 1 20 5 1 20 6 1 20 7 1 20 8 1 20 9 20 Possiamo rappresentare graficamente anche le variazioni percentuali: in corrispondenza di una crescita, cioè di una variazione percentuale positiva, ci sarà in questo nuovo grafico un punto al di sopra dell asse delle ascisse con ordinata più o meno grande a seconda che la velocità di crescita (cioè la variazione percentuale) sia stata più o meno rilevante; se invece c è stata una decrescita ci sarà un punto al di sotto dell asse delle ascisse; mentre un punto proprio sull asse delle ascisse indica che la variazione percentuale tra quei due anni è stata irrilevante. Il grafico è il seguente: Il grafico così costruito indica le variazioni di quello precedente. un grafico derivato da quello e rappresenta in un certo senso la velocità dei mutamenti del fenomeno rappresentato nel grafico iniziale. Nel nostro caso, la velocità dei mutamenti della popolazione italiana: con quale velocità sta calando oppure sta crescendo di anno in anno. Studiare l andamento di un fenomeno che varia nel tempo significa spesso quasi sempre non fermarsi alla constatazione dei suoi mutamenti, ma anche calcolare la rapidità con cui tali mutamenti avvengono. Quindi non considerare soltanto l andamento grafico della funzione che rappresenta il fenomeno stesso, ma anche quello della funzione derivata che indica la velocità dei suoi mutamenti. Per questo vogliamo ora definire rigorosamente la derivata di una funzione y = f(x) in un punto, a partire dal concetto di derivata di una funzione che abbiamo introdotto nell unità precedente. Consideriamo una funzione y = f(x) e un valore x0 appartenente al suo insieme di definizione: il corrispondente valore della variabile dipendente è f(x0). ATTENZIONE! A indifferente i parlare di «derivata in x0 o di «derivata nel punto di ascissa x0 . Entrambe le espressioni saranno da noi usate nelle pagine che seguono. Spesso in letteratura troviamo anche l espressione meno rigorosa, ma rapida, «derivata nel punto x0 . Consideriamo ora un incremento x della variabile indipendente e indichiamolo, per semplicità di scrittura, con h. Vogliamo stabilire se la funzione y = f(x) è derivabile in corrispondenza del valore x0 (cioè esiste la sua derivata in corrispondenza di tale valore). DEFINIZIONE Una funzione y = f(x), definita almeno nell intervallo [a ; b], si dice derivabile in un punto x0 [a ; b], se esiste, finito, il limite: f(x0 + h) f(x0) lim _______________ h h 0 Tale limite è indicato con f '(x0) Nella precedente unità abbiamo chiamato rapporto incrementale il rapporto: f(x 0 + h) f(x 0) _____________ h 256

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