Il Maraschini-Palma - volume 5

RELAZIONI E FUNZIONI Per individuare la velocità delle particelle all istante t = 3 calcoliamo il rapporto incrementale di y = 3t2 2 nell intervallo [3 ; 3 + t]: y(3 + t) y(3) __________________ y ______________ 3 (3 + t)2 2 25 ____________________ 3(9 + 6 t + ( t)2) 27 ___ = = = = t t t t 27 + 18 t + 3( t)2 27 t(18 + 3 t) = _____________________ = ___________ = 18 + 3 t t t Otteniamo così: v(3) = lim (18 + 3 t) = 18 t 0 Generalizziamo la situazione calcolando la velocità in un generico istante t: y(t + t) y(t) 3(t + t)2 2 (3t2 2) v(t) = lim _____________ = lim _____________________ = t 0 t 0 t t 3t2 + 6t t + 3( t)2 2 3t2 + 2 t(6t + t) = lim ____________________________ = lim __________ = 6t t 0 t 0 t t La legge che lega la velocità al tempo è pertanto v = 6t, con t 0, il cui grafico è la semiretta rappresentata: v 6 O t 1 Si tratta di un moto uniformemente accelerato. 62 FISICA L altezza h che un proiettile, sparato verticalmente, raggiunge dopo t secondi è espressa dalla relazione: h = v0t 5t2, dove v0 indica la velocità iniziale. Dimostra che la velocità media del proiettile nell intervallo di tempo da t a t + h è v0 10t 5h e che la velocità istantanea a un generico istante t è v0 10t. Qual è il tempo necessario affinché la velocità del proiettile diventi nulla? Qual è la sua velocità (in valore assoluto) quando ricade a terra (nell ipotesi che le forze di attrito siano trascurabili)? [ v t = ___0 ; v = v0] 10 63 Nelle condizioni del precedente problema stabilisci quale deve essere la velocità iniziale affinché il proiettile ricada a terra dopo 1 secondo, quale affinché ricada dopo 5 secondi, quale affinché ricada dopo un tempo T fissato. [5; 25; 5T] 64 Nelle condizioni del precedente problema dimostra che l accelerazione del proiettile è costante. [a = h = 10] 244 FISICA FISICA 65 FISICA La legge del moto di una particella è data dalla funzione y = 2t + 1 dove t indica il tempo (considera, per semplicità, t 0) e y la posizione. Rappresenta graficamente tale legge. Individua, come limite del rapporto incrementale, la velocità della particella all istante t = 1. Generalizza la situazione, considerando un istante generico t: scrivi la relazione che lega la velocità v al tempo t e stabilisci di che tipo di moto si tratta. Rappresenta graficamente la legge v = v(t). [v = 2; v = 2; moto uniforme] 66 FISICA La legge del moto di una particella è data dalla funzione y = 4t3 5 dove t indica il tempo (considera, per semplicità, t 0) e y la posizione. Rappresenta graficamente tale legge. Individua, come limite del rapporto incrementale, la velocità della particella all istante t = 3. Generalizza la situazione, considerando un istante generico t: scrivi la relazione che lega la velocità v al tempo t. Rappresenta graficamente la legge v = v(t). [v = 108; v = 12t2]

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