Il grafico della funzione y = ax + b/cx + d

RELAZIONI E FUNZIONI ax + b Il grafico della funzione y = _ cx + d My English lesson page 52 1 L iperbole y = _ ha l origine come centro di simmetria; una volta effettuata una x traslazione di vettore v = (a ; 0) oppure w = (0 ; a) il centro di simmetria diviene, rispettivamente, il punto A(a ; 0) o il punto B(0 ; a). Negli esempi precedenti esso è infatti, rispettivamente, il punto A( 3 ; 0) e il punto B(0 ; 3). 1 Se trasliamo l iperbole y = _ secondo un vettore qualsiasi v = (u ; w), il punto x P(u ; w) è il corrispondente dell origine e, quindi, il nuovo centro di simmetria del grafico. All asse delle ascisse corrisponde la retta y = w e a quello delle ordinate la retta x = u. I suoi asintoti sono quindi paralleli agli assi cartesiani. y P O y=w x x=u ATTENZIONE! A Ci stiamo sempre riferendo allo stesso sistema Oxy. Le lettere u e w indicano le componenti del vettore di traslazione: in ogni particolare funzione sono perciò due numeri. Quindi la somma uw + 1, che compare nell espressione della funzione, è un numero. Il grafico disegnato in colore nella figura sopra rappresenta la funzione: 1 1 y w = _ cioè y = _ + w che può anche essere scritta come: x u x u xw uw + 1 y = ___________ x u una funzione razionale frazionaria cioè il quoziente di due polinomi (di primo grado in x). Per capire meglio questa espressione, disegniamo il grafico della funzione 2x 5 y = _. x 3 Il suo insieme di definizione è {x R x 3}. Possiamo riscrivere il numeratore come 2x 6 + 1 e, conseguentemente: 2(x 3) 1 1 1 2x 6 + 1 2x 6 y=_=_+_=_+_ y=2+_ x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 x 3 1 La funzione si ottiene perciò da y = _ con la traslazione di equazioni: x x = x + 3 {y = y + 2 Il grafico è simmetrico rispetto al punto P(3 ; 2); le rette y = 2 e x = 3 sono gli asintoti dell iperbole (figura a pagina seguente). 24

Il Maraschini-Palma - volume 5
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