Il Maraschini-Palma - volume 5

4 y O Funzioni derivate e primitive y O x x 2 a. y b. In generale, in base alla definizione di primitiva di una funzione, possiamo scrivere P( 2) = 2x + k per qualunque k R o, in modo equivalente, per la definizione di integrale indefinito: O 2dx = 2x + k b. Il grafico della funzione è una retta che interseca l asse y in (0 ; 2) ; è positiva per x > 1, negativa per x 1, decrescente per x 0 (figura d.). y Per stabilire il valore di a, sapendo che la funzione derivata della primitiva deve essere la funzione assegnata, calcoliamo il limite del rapporto incrementale per x tendente a 0 di y = ax2 + 2ax + a e uguagliamolo alla funzione: a (x + x)2 + 2a(x + x) + 2a a x2 2ax 2a lim _______________________________________ = x 0 x 2 a x + 2ax x + a( x)2 + 2ax + 2a x + 2a ax2 2ax 2a = lim _________________________________________________ = x 0 x 2 2 + 2ax x + a( x) + 2ax + 2a x + 2a ax2 2ax 2a a x = lim _________________________________________________ = x 0 x 2 + 2a x 2ax x + a( x) = lim ___________________ = lim 2ax + a x + 2a = 2ax + 2a x 0 x 0 x O x d. Dall uguaglianza 2ax + 2a = 2x + 2 a = 1 P(2x + 2) = x2 + 2x + 1 In generale, possiamo scrivere P(2x + 2) = x2 + 2x + k, k R o, in modo equivalente: (2x + 2)dx = x2 + 2x + k O Data la funzione f(x) = 3x, stabilisci qual è la funzione (o quali sono le funzioni): a. D(P(f(x))); b. P(D(f(x))); c. D(P(D(P(f(x))))). a. la funzione stessa f(x) = 3x. b. ognuna delle infinite funzioni primitive della derivata di f(x), quindi: y = 3x + k. c. la funzione f(x) = 3x. FISSA I CONCETTI Integrale indefinito f(x)dx: insieme delle funzioni primitive di f. 227

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