Il Maraschini-Palma - volume 5

4 Funzioni derivate e primitive Se in un punto in cui la funzione y = f(x) è definita, esiste il suo tasso di variazione istantaneo, allora esso, per il teorema di unicità del limite, è unico. Perciò: data una funzione in un intervallo, la sua funzione derivata, se esiste, è unica. esempio O Determina, attraverso il calcolo del limite dei rapporti incrementali, le funzioni derivate di: a. f(x): y = 3x + 1 b. g(x): y = 3x + 2 c. h(x): y = x2 + 2x 3 d. i(x): y = senx a. Calcolando il rapporto incrementale in un generico punto di ascissa x per la funzione f(x) otteniamo: f(x + x) f(x) 3(x + x) + 1 (3x + 1) lim ______________ = lim _____________________ = x 0 x 0 x x 3x + 3 x + 1 3x 1 3 x = lim _____________________ = lim _ = 3 x 0 x 0 x x b. Analogamente, otteniamo 3 anche calcolando il limite del rapporto incrementale per la funzione g(x). Entrambe le funzioni hanno perciò la stessa funzione derivata, che è la funzione costante y = 3. A ben pensarci, ciò è ovvio, perché 3 è il coefficiente angolare (costante) che hanno entrambe le rette, grafici di f(x) e g(x). c. Come abbiamo fatto nei due esempi precedenti, calcoliamo: (x + x)2 + 2(x + x) 3 x2 2x + 3 lim _________________________________ = x 0 x 2 x + 2x x + ( x)2 + 2x + 2 x 3 x2 2x + 3 = lim _______________________________________ = x 0 x 2 2x x + ( x) + 2 x = lim ________________ = x 0 x x (2x + x + 2) = lim ________________ = 2x + 2 x 0 x FISSA I CONCETTI Q sen(x + x) sen x senx cos x + cosx sen x senx d. lim ________________ = lim _______________________________ = x 0 x 0 x x senx (cos x 1) + cosx sen x = lim ____________________________ = x 0 x Q Funzione derivata della funzione f: y = f (x) = D (f (x)) esprime il coefficiente angolare della tangente al grafico di y = f (x) punto per punto. La funzione derivata, se esiste, è unica. 1 cos x sen x = lim ( senx) _ + lim cosx _ x 0 x 0 x x Poiché, come abbiamo dimostrato nell unità 2, 1 cos x lim _ = 0 x x 0 e sen x lim _ = 1 x x 0 otteniamo: sen(x + x) senx lim ________________ = cos x x 0 x PROVA TU P D Determina, attraverso il calcolo del limite dei rapporti incrementali, le funzioni derivate di: a. y = x3 + 2 x2 1 b. y = cosx 223

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