Il Maraschini-Palma - volume 5

4 Funzioni derivate e primitive Inoltre passa per l origine perché nella sua espressione non compare il termine noto. 1 1 2 a. Per determinare i valori della funzione y = __ x3 __ x2 __ x in corrisponden3 3 3 za dei punti di ascissa indicati, sostituiamo i rispettivi valori nell'equazione e otteniamo la seguente tabella: x 2 f (x) __ 8 3 1 0 1 0 0 __ 2 3 2 3 0 4 b. Per determinare il tasso di variazione istantaneo di un generico punto di ascissa x, calcoliamo il limite per x tendente a 0 del rapporto incrementale: f(x 0 + x) f(x 0) lim ______________ = x _1_ (x + x)3 _1_ (x + x)2 _2_ (x + x) _1_x3 + _1_x2 + _2_x 3 3 3 3 3 3 = lim _______________________________________________ = x 0 x 2 2 1 1 x(x2 __ x __ + __( x2) __ x + x x) 2 2 3 3 3 3 = lim ____________________________________ = x2 __x __ x 0 3 3 x x 0 Sostituendo a x i valori di ascissa assegnati otteniamo per la funzione y = m(x) la seguente tabella: x 2 1 0 m (x) 14 __ 1 __ 3 2 3 1 1 3 __ 2 3 2 19 __ 3 2 2 c. L espressione della funzione y = m(x) è: y = x2 __ x __ 3 3 una funzione polinomiale di secondo grado, il suo grafico è una parabola. _ _ 1 7 1 + 7 Gli zeri della parabola sono x 1 = _ e x 2 = _. 3 3 In corrispondenza di tali valori la funzione y = m(x) è nulla e, quindi, la tangente alla funzione data ha coefficiente angolare nullo: è parallela all asse delle ascisse e quindi la funzione è stazionaria. Studiamo il segno della funzione y = m(x) ottenuta: 2 2 x2 __x __ > 0 3x2 2x 2 > 0 3 3 La disequazione è soddisfatta nell intervallo esterno delle soluzioni della cor_ _ 7 7 1 1 + 2 _ex =_ rispondente equazione_3x 2x 2 = 0 che . 2 _ sono x 1 = 3 3 7 7 1 1 + Quindi, per x _ (figura a lato) la funzione y = m(x) 3 3 è positiva e quindi la funzione y = f(x) è crescente (la tangente ai suoi punti ha coefficiente angolare positivo). Nell intervallo interno agli zeri essa invece è decrescente. Sintetizzando: x1 + 1 x2 0 1 + _ 1 7 per x = _ 3 _ _ 7 1 + 7 1 _ _ ox> per x 0 f(x) è crescente; m(x) < 0 f(x) è decrescente. 219

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